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Se p=0 o p==1 i passaggi per i punti fondamentali e gli incontri colle curve 
fondamentali equivalgono per le R, a 4n—6 o 4n—4 condizioni; ma le curve 
di ordine n e di genere zero o uno sono determinate sempre da £n condizioni ('), 
dunque : 
II. Se p=0, presi in posizione generale i punti e le linee 
fondamentali dello spazio semplice, viene determinato un si- 
stema c0ì di curve razionali di ordine n, al quale appartiene il 
sistema c0°diquelle corrispondenti alle rette dello spazio doppio. 
III. Se p=1, presi in posizione generale i punti e le linee 
fondamentali dello spazio semplice, viene determinato il sistema 
o delle curve corrispondenti alle rette dello spazio doppio. 
VI. Il complesso delle rette determinate 
dalle coppie di punti congiunti dello spazio semplice. 
39. Le rette determinate in S' dalle coppie di punti congiunti generano un 
complesso C'; la trasformazione doppia fornisce subito una rappresentazione univoca 
dei raggi di C' sui punti dello spazio doppio S. Onde studiarla sono necessarie alcune 
considerazioni relative alle superficie K' generate dalle coppie di punti congiunti 
che stanno in uno stesso piano con una retta data R'. 
40. Evidentemente una K' insieme alla superficie doppia Q' costituisce il luogo 
generato dal fascio dei piani P', che ha per asse R', e dal fascio proiettivo delle 
superficie congiunte EP", dunque le K' sono di ordine N—yv+1. La K' data da 
R' è il luogo delle curve A' poste nei piani P' che passano per R'; la K' contiene 
semplicemente la R' e la curva congiunta HrR'. Le K' sono 00%, come le rette R' 
che le dànno, e per quattro punti in generale ne passano due, quelle date dalle due 
rette che si appoggiano alle quattro determinate da ciascuno dei punti presi e dal 
suo congiunto. Le K' passano tutte per i punti doppî e per le curve doppie di S', 
se ve ne sono. 
Una R',, essendo congiunta a se stessa, nei punti fondamentali ha n(N—1) 
intersezioni con una qualunque JP”, siccome poi un luogo complessivo K'O' passa 
per i punti fondamentali come vi passano le JP”, tra le intersezioni delle R', 
con un luogo K'OQ' ve ne sono pure n(N—1) nei punti fondamentali, ne riman- 
gono quindi: n(N+1)—n(N—1)=2n. Ora tra queste 2(p+-1) stanno sulla Q' 
(36, II), dunque le intersezioni, non fondamentali, delle R', con una K' sono: 
2(n—p—1). Per due punti p,, p. passano quattro sistemi co! di superficie 
® (11, V), i luoghi delle loro curve doppie A, variabili, sono quattro superficie K 
che corrispondono alle quattro K' dat: dalle rette 
Daipa, PuP3, Pipa, DiP2- 
Essendo una K' segata dalle R', in n—p — 1 coppie di punti congiunti, non fon- 
damentali, la superficie corrispondente K è di ordine n—-p—1. 
() Halphen, Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques (Journal de l'École poli - 
technique - LII Cahier 1882). — Noether, Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen Raum- 
curven (Abhandlungen der k. Ak. der Wissenschaften zu Berlin, 1882). 
