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II. Alle superficie rigate intersezioni di C' con le congruenze 
lineari di S' corrispondono in $ curve 4, di un sistema 008, il cui 
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ordine è: maporoz(i—t)m. 
50. In certe trasformazioni doppie avviene che tutte le rette determinate da 
due punti congiunti sono congiunte a se stesse, e quindi non generano più un com- 
plesso C'; ma un sistema 0co?('). Ciò accade, per esempio, in tutte le trasforma- 
zioni doppie nelle quali ai piani dello spazio doppio corrispondono nello spazio sem- 
plice superficie di secondo ordine. Quando vi è un sistema co? di rette congiunte a 
se stesse, le K' sono le superficie generate dai raggi del sistema che incontrano una 
retta R', le curve A' sono costituite dai raggi del sistema che stanno in un piano P'. 
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VII. Come si possono trovare infinite trasformazioni doppie dello spazio. 
51. Esiste un metodo, abbastanza semplice, per ottenere tutte le trasfor- 
mazioni doppie nelle quali le ®' sono superficie omaloidi. 
Supponiamo che sia nota la rappresentazione piana di una data superficie oma- 
loide D'. Tutte le superficie dello stesso ordine, per le quali i punti multipli e le 
curve multiple di D' sono punti multipli e curve multiple nello stesso modo, segano ®' 
secondo curve, variabili, le cui immagini sul piano P, rappresentativo di ®', formano 
un certo sistema Y. Nel piano P prendiamo una rete di curve c, tali che due qua- 
lunque abbiano comuni due soli punti variabili, cioè una di quelle reti che trasfor- 
7mano il piano semplice P in un piano doppio (*), e prendiamo la rete. delle e in 
modo che ciascuna % con un luogo fisso L (insieme di linee, anche contate più 
volte) costituisca una curva del sistema S. I luoghi cL sono co? e rappresentano 
su P le intersezioni della ®' con un sistema lineare 008 di altre superficie ®', sic- 
come poi due ec hanno comuni due soli punti variabili, si vede che tre ®' si incontrano 
in due soli punti non comuni a tutte le altre, cioè si vedè che il sistema 003 delle D' 
è uno di quelli che trasformano il loro spazio semplice S' in uno spazio doppio S (°). 
Variando il luogo L e la rete delle c si ottengono tutte le trasformazioni 
doppie nelle quali può essere impiegata la data D'. 
52. Quando è dato un sistema 003 di superficie D', capaci di trasformare il 
loro spazio semplice S' in uno spazio doppio S, se ne trovano facilmente infiniti 
altri, anche costituiti da superficie ®' non omaloidi. Basta prendere in S un sistema 
lineare co? di superficie, tali che tre qualunque di esse si incontrino in un solo 
punto non comune a tutte le altre (*), il sistema corrispondente nello spazio sem- 
plice è uno di quelli cercati. 
(') De Paolis, Alcune particolari trasformazioni involulorie dello spazio. (Rendiconti della 
». Accademia dei Lincei, Serie 4°, vol. 1). 
(@) De Paolis, Le trasformazioni piane doppie. (Atti della r. Accademia dei Lincei, Serie 8°, 
vol. I, 1877). 
(°) Questo metodo è analogo a quello seguìto da Cremona per trovare tutti i possibili sistemi 
omaloidi dei quali fa parte una data superficie omaloide. (Sulle trasformazioni razionali nello spazio. 
Annali di Matematica, Serie 2%, vol. V). 
(‘) Cremona, l. c. 
