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aa, del nostro pentagono fuori dei vertici. Dal che risulta che il vertice di quel 
fascio giace su una sola faccia del pentaedro fondamentale. Il centro O poi del fascio 
giacente in ©, appunto perchè giace già sul piano è e sui piani dei fasci che hanno 
i vertici nei punti a,, non può giacere su alcuna faccia (') del nostro pentaedro. Il 
centro O è dunque l’unico punto singolare di una %, che non sottostia ad alcuna 
condizione. Vedremo in seguito che esso, da solo, basta ad individuare la o. Il cen- 
tro O ed il piano w del suo fascio li diremo punto e piano singolari liberi della 
corrispondente. 
Dunque: 
«Dei punti singolari delle ©, cinque (i vertici dei fasci fonda- 
«mentali)sono fissi; cinque scorrono ciascunosuunadelle rette p 
«cinque giacciono ciascuno su uno dei piani 7;; ed uno è comple- 
«tamente libero ». 
Possiamo ora asserire che: 
« Le superficie T appartenenti ad una 9 sono coordinate (°) al 
« piano singolare libero di essa». 
8) La congruenza lineare generale formata sul complesso © da un complesso 
lineare C' sega una © secondo una superficie di 4° ordine, che ha un raggio pas- 
sante per ciascuno dei 16 punti singolari di @ e giacente nel corrispondente piano 
singolare. Tale superficie sega dunque è, piano singolare libero di @, lungo una . 
curva di 3° ordine passante per i cinque punti a;; mentre l’intersezione T° di g con 
un’altra g' è rappresentata su @ da una retta, che sega in tre punti il luogo pre- 
cedente. Ne segue che vi sono tre raggi comuni alla nostra congruenza lipeare e ad 
una T arbitraria e che, quindi, la superficie A corrispondente in S alla congruenza 
lineare in discorso è di 3° ordine; cioè: 
«Alle congruenze lineari generali di C corrispondono in $ su- 
« perficie A di 3° ordine». 
4) Due congruenze lineari generali di C hanno comune un iperboloide, che ha 
quattro raggi in ognuna delle congruenze g del nostro sistema; e poichè quei quat- 
tro raggi non appartengono generalmente ai fasci fondamentali, possiamo concludere 
che in S l’intersezione variabile comune a due A ha quattro punti comuni con un 
piano arbitrario: 
«Agli iperboloidi di C corrispondono in S curve gobbe razio- 
«nali di 4° ordine, che sono la parte variabile dell’intersezione 
«di due A ». 
Tali curve sono razionali, perchè i loro punti sono riferibili proiettivamente alle 
generatrici di un iperboloide. 
Possiamo prevedere che le A hanno tutte comune un luogo fisso di 5° ordine, 
del quale ci occuperemo in seguito (n. 8). 
A 
(') È noto che in una congruenza di 2° grado ogni punto singolare giace su 6 piani singolari, 
uno dei quali è quello del suo fascio. 
(*) Caporali (1. c. nì. 5, 11) dice, in una congruenza di 2° grado, coordinata una T a quel- 
l’unico piano singolare, sul quale è rappresentata da una retta. 
