— 613 — 
5) Segando una g con una congruenza generale di 2° grado giacente in C, la 
superficie risultante è rappresentata sul piano singolare libero @ di g (n. 1) da una 
curva di 6° ordine, che ha per punti doppî i cinque punti a;; mentre una T° gia- 
cente in © è rappresentata in © da una retta; dunque: 
«Alle congruenze generali di 2° grado di C corrispondono in S 
«superficie di 6° ordine ». 
Se r è un raggio di uno dei fasci fondamentali di C, ad r corrisponde un punto 
in ogni piano di $S; cioè ad un raggio d’un fascio fondamentale di C corrisponde 
in S non un punto, ma una retta; ossia, più propriamente, ai raggi di C infinita- 
mente vicini ad un raggio di un fascio fondamentale e che lo segano corrispondono 
in S punti di una linea retta. 
Questo, del resto, può anche dimostrarsi così. Se un iperboloide di C passa 
per un raggio r del fascio fondamentale Fi, ciò significa che le due congruenze 
lineari di C che lo generano passano per r; le sezioni di queste congruenze con una 
© sono dunque rappresentate sul corrispondente piano © da due curve di 3° or- 
dine passanti per i cinque punti fondamentali e per quel punto della retta 4a; da, 
che è l’imagine dir: le due congruenze hanno dunque ancora comuni con g tre raggi; 
cioè il raggio r conta per un solo raggio comune all’iperboloide ed a @. Segue che 
in S un piano ha comuni colla curva corrispondente al nostro iperboloide tre punti, 
variabili al variare dell’ iperbolcide passante per »; che cioè la curva corrispon- 
dente all’iperboloide si è scissa in una cubica gobba ed in una retta, la quale cor- 
risponde ad r. 
Abbiamo veduto che ad una congruenza generale di 2° grado, situata in C, 
corrisponde in S una superficie del 6° ordine; la quale si riduce ad un piano, se 
la congruenza sia una g, se cioè contenga i cinque fasci fondamentali dati. Dun- 
que ai raggi dei cinque fasci fondamentali di C corrispondono rette formanti un 
luogo del 5° ordine, che dovrà spezzarsi nel sistema di cinque piani, contenenti cia- 
scuno le rette che corrispondono ai raggi di uno stesso fascio. 
Ci resta ora a vedere quale sia in uno 7/j di questi piani l’inviluppo delle rette, 
corrispondenti ai raggi del fascio Fy di C. Sia, a tal fine, 9g una retta arbitraria 
di S, segante 7, in punto G: è chiaro che tante delle rette in discorso, giacenti 
in 71, passeranno per G, quanti saranno i raggi della T corrispondente a g apparte- 
nenti al fascio Fj; ma T ha con F, un solo raggio comune ('), del sistema; dunque 
le rette del sistema giacenti in 7‘, formano un fascio. 
Concludiamo che: 
«Airaggi dei cinque fasci fondamentali di C corrispondono in 
«S raggi, formanti ancora cinque fasci ». 
Indicheremo ‘questi fasci ed i loro piani rispettivamente con ®;,7/;: 
Due fasci fondamentali consecutivi di C,F;,F,-1 hanno un raggio (del com- 
plesso) comune; dunque due fasci consecutivi ®, , ®;-1 avranno altresì un raggio 
comune, cioè: 
(') Se infatti pg è una congruenza contenente T, nel piano w corrispondente la T è rappresen- 
tata da una retta che ha uno ed un sol punto comune coll’imagine a, a, del fascio F,. 
