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«I centri dei cinque fasci ®,,®,,D3,D,,d;, presi in quest’'or- 
«dine, costituiscono un pentagono tale, che il fascio avente il 
«centro in un vertice giace nel piano che unisce questo ai due 
« vertici precedente e successivo». 
7) Sia pi (n. 2) l'intersezione dei due piani 75,7 e sia P un punto di essa. 
Poichè il fascio di centro P_ha già comuni con una congruenza arbitraria @ i due 
raggi FyP, FP, non avrà con essa alcun altro raggio comune (non essendo P, per 
l’arbitrarietà della g, un punto singolare di essa): dunque al fascio di raggi col 
centro in P corrisponderà non una linea, ma un punto. E poichè quel fascio ha due 
raggi spettanti rispettivamente ai fasci F;, Fa, così quel punto dovrà giacere nei 
raggi corrispondenti ai primi e quindi nell’intersezione p', dei due piani 75, 7a; 
intersezione che passa per ®j. Si ha dunque che: 
«Ai fasci di C aventi i centri sulle pg; corrispondono in Spunti 
«situati sulle rette 0, le quali si comportano rispetto al penta- 
«gono formato dalle ®,, come le gp, rispetto a quello delle F; ». 
È dunque degna di nota l’ analogia, che viè, tra gli enti fondamentali dei due 
spazî C ed S rappresentati i’uno sull’altro. 
8) Un fascio di C ba comuni due raggi con ogni 9; dunque il luogo corrispondente 
ad esso in S ha comuni due punti con ogni piano, è cioè una conica, che sega ciascuna delle 
cinque rette g';, perchè il fascio ha un raggio secante ciascuna delle cinque p,;; dunque: 
«Al sistema, triplamente infinito, dei fasci di C corrisponde 
«in Sil sistema delle coniche che segano le cinque rette g'; ». 
Una di queste coniche è unica per il piano che la contiene, cui essa determina 
completamente, dunque: 
«In C una 9 è completamente individuata per mezzo del suo 
«punto singolare libero ». 
Data in C una congruenza lineare, per ogni punto di una p; passa un raggio di essa; 
dunque la A corrispondente a quella congruenza contiene ogni punto della g';, cioè: 
«Il luogo fisso di 5° ordine comune a tutte le A dello spa- 
«zio S è costituito dalle cinque rette g,». 
Così le superficie di 6° ordine, corrispondenti in S alle congruenze generali di 
2° grado di C, hanno per rette doppie le cinque rette g',. 
Finalmente, un iperboloide di C ha due raggi che segano una a piacere delle 
Pi, dunque: 
«Le curve diquart’ordine,corrispondenti in$ agliiperboloidi 
«di C, bisecano ciascuna delle g/;». 
Le rette p'; formano esse stesse un pentagono storto, perchè ogni faccia del 
pentaedro fondamentale ne contiene due, che quindi si segan.. / 
9) Poichè una congruenza g possiede il fascio F1 giacente in 71, ed una T di 9 
è coordinata al piano singolare libero @ di ©, il piano 71 non solo non sarà coor- 
dinato a T, ma nè pure conterrà il punto singolare libero O (polo di @). La T sarà 
dunque (') rappresentata su 7, da una conica .. 
(*) Caporali, l..c. n. 11. 
