— 615 — 
Se ora consideriamo quella superficie di 3° ordine giacente in © che è rappre- 
sentata su 7, da una retta 4, vediamo dalla rappresentazione, che essa ha due raggi 
comuni con T° (d e ) hanno due punti comuni); cosicchè la congruenza delle rette 
di C seganti d ha due raggi comuni con ogni T', cioè: = 
«Quando una direttrice di una congruenza lineare di C giace 
«nel piano 7, d’un fascio fondamentale (cosicchè l’altra direttrice 
«passa per il vertice F;) la superficie A, corrispondente in S, si 
«scinde nel piano 7; ed in una quadrica passante per quelle tre 
«rette o, che non giacciono in 7». 
Questo, del resto, si poteva anche prevedere: perchè in questo caso fa parte 
della congruenza il fascio F; e quindi fa parte della A corrispondente il piano 7’; 
del fascio ®,; sicchè la parte rimanente di A. sarà una quadrica passante per quelle /;, 
che non stanno nel piano 7/;, dovendo tutta la A completa contenere le cinque rette g';. 
Segue dal teorema precedente, che: 
<Ai fasci di C aventi i centri su 7; corrispondono in S rette 
«tali, che se il centro di un fascio scorre in 7; sopra una retta, 
«la retta corrispondente al fascio sega 7, lungo una conica». 
Più propriamente, la conica corrispondente ad un fascio, che ha il centro in 7,, 
si spezza nel raggio di ®,, che corrisponde al raggio del fascio considerato appar- 
tenente anche ad F;,e che sega le due 9; giacenti in 7°; e l’altra p'; passante per ®,, 
ed in una retta che sega le due rette g'; che non stanno nel piano 7; e non pas- 
sano per ®; (giacchè il raggio di ®, sega le tre pg rimanenti). 
10) Tra i due piani 7;, 7; risulta così stabilita una corrispondenza univoca di 2° 
grado. Si corrispondono i punti di 7;, centri di fasci, e le traccie su 7’, delle rette 
corrispondenti a quei fasci. Punti fondamentali in 7/; sono ®; e i due punti nei quali 
i raggi D._1D;,D,D;.1 sono segati dagli altri due raggi p',, che non stanno in 7; (') 
e che sono diversi da g'; (che passa per ®)). 
Come abbiamo osservato precedentemente: 
«Ai fasci di C, che hanno i vertici in 7,, corrispondono in S 
«rette seganti le dueg,,chenè giacciono inz,,nè passano per D, >». 
Si hanno così in S cinque congruenze, determinate dalle coppie di direttrici; 
(api) (0105) (0501) (P102) (0203) 
e corrispondenti rispettivamente alle cinque serie di fasci che hanno i vertici in: 
Ie UP 9 UA 830 l 
In particolare ai fasci, che hanno i vertici nei lati r1,72,73,7;,75 del pen- 
taedro fondamentale di C corrispondono in S le generatrici degli. iperboloidi aventi 
per direttrici rispettivamente le seguenti terne di rette: 
(Papa) (04 Pîs di) (Qspapa) (a0a 03) (EIZETAA) 
11) Ad esaminare più attentamente questi sistemi di generatrici, osserviamo che 
nel pentaedro fondamentale di C le due rette 03,03, giacenti in 74, segano r; in 
(') Così, per esempio, le rette p's non contenute nel piano 7', sono, oltre la £’, che passa per 
d,, le p'3,6"4- Ora p'3 è l'intersezione dei piani 7/,=(®, 9,93), 7",=(939,9,); essa sega quindi 
il piano 7), =(®;®, ®2) in un punto della retta ®, ®,. Così p', sega 2’, in un punto di d, ®,. 
1 — 
