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(il fascio di centro O), saranno OP, OP, le due generatrici di T giacenti in @. Indi- 
cato poi con O' il punto singolare libero di 9", poichè per esso passano pure due 
generatrici di T, ia retta t dovrà passare per O'. 
Fatta ora ruotare t' intorno a Py finchè Pi venga a coincidere con O, la retta t, 
reciproca di #", verrà a coincidere con # e con OP, ed intanto la OP; diverrà tan- 
gente in O alla conica dei sei punti singolari di . Se dunque nel fascio di centro 0 
conveniamo di chiamare raggio principale quello che tocca la conica predetta (conica 
segante le cinque rette p;), possiamo asserire che: 
1°) « Se O è il punto singolare libero di una ©, un raggio » 
« del fascio di centro O rappresenta sul piano © una tale T di g, 
« per la quale coincidono in r la direttrice doppia, la semplice 
«ed una generatrice e che passa inoltre per il raggio princi- 
« pale di 0 ». 
Se, riprendendo il caso generale, il punto singolare libero O" di g' scorre su t, la 
t', reciproca di £ rispetto al complesso C, rimane invariata; cosicchè rimane inva- 
riata la T, lungo la quale @ è segata da g'; e questa proprietà rimane invariata se (' 
e t coincidano in un raggio del complesso C, cioè: 
2°) « Le ©, che hanno i punti singolari liberi in linea retta, 
« si segano lungo una stessa T ». 
Se poi consideriamo tutte le g", che hanno il punto singolare libero in ©, piano 
del fascio di centro O, le T lungo le quali le g', segano quella g, che ha il punto 
singolare libero in O, passano tutte, come abbiamo veduto precedentemente, per il 
raggio principale di O, cioè: 
3°) « Se © è il piano di un fascio di C, che ha il centro in 0, 
« tutte le g che hanno il punto singolare libero in © passano per 
« il raggio principale di O ». 
15) Data in C una congruenza lineare di direttrici d, d, ed indicata con A la 
superficie di 3° ordine corrispondente in S; ai fasci della congruenza che hanno i 
vertici in d corrispondono coniche di A; e poichè le 9, che hanno per punti singolari 
liberi i centri di quei fasci, hanno comune (n. 14, teorema 2°) una T' appartenente 
alla congruenza, i piani delle coniche corrispondenti si segheranno lungo una stessa 
retta d di A. Come pure ai fasci aventi i centri su dj corrisponderanno coniche di A, 
i cui piani si segheranno lungo una stessa retta di di A. Due coniche di A i cui 
piani passano per è (per d,) non possono avere alcun punto comune, come non hanno 
alcun raggio comune due fasci di C coi centri in d (o rispettivamente in d;). Hanno 
invece un punto comune due coniche di A, i cui piani passino rispettivamente per è 
e per d,, perchè due fasci di C aventi i centri rispettivamente in d ed in dj hanno 
un raggio comune, dunque: 
1°) « Le coniche corrispondenti ai fasci di una congruenza li- 
« neare generale di C si scindono nella A corrispondente in due 
« serie; quelle di una stessa serie non si segano fra loro ed hanno 
« iloro piani passanti per una stessa retta di A; due coniche poi 
« appartenenti a due serie diverse hanno un punto comune. Fi- 
« nalmente gli assi dei due fasci di piani, che contengono queste 
