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« coniche, non si segano fra loro e non segano in generale alcuna 
« delle cinque rette pg, per le quali passa A ». 
Quest'ultima parte del teorema sarà presto dimostrata (n. 17). 
Le due serie di coniche ora considerate sulla A. sì comportano, come sì vede, 
tra loro, come sopra una quadrica le due serie di rette. 
Poichè due coniche di una stessa serie non hanno punti comuni, sopra la retta d 
per ogni punto se ne ha un altro, che giace col primo su una stessa ed unica co- 
nica di A; cioè, mediante le coniche della serie considerata, i punti di d verranno 
accoppiati in involuzione; ed in particolare si avranno due coniche della serie tan- 
genti a Ò. Se poi si tenga presente il fatto che in S le cinque rette o'; formano un 
pentagono gobbo, si può concludere che: 
2°) « Nel complesso delle coniche seganti i cinque lati di un 
« pentagono gobbo, quelle, che bisegano una retta arbitraria, 
« determinano su questa una involuzione di punti. E vi sono due 
« coniche del complesso tangenti ad una retta arbitraria ». 
16) Supponiamo ora che le due direttrici della congruenza lineare, considerata 
precedentemente, si riuniscano in una retta r del complesso C. Allora in S le due 
serie di coniche si riducono ad una sola (coincidono, cioè, le è, d,) ed i piani di tutte 
quelle coniche passeranno per una retta 7, della A corrispondente alla congruenza. 
Di più, poichè i fasci della congruenza hanno tutti comuni il raggio r, quelle coniche 
dovranno passare per il punto R,, corrispondente ad r; il qual punto R, deve gia- 
cere in rx, perchè le coniche in discorso devono essere in numero semplicemente 
infinito. Allora, poichè ogni piano condotto per r1 sega A secondo una conica passante 
per R;, il punto Ri è doppio per A, cioè: 
<« Ad una congruenza lineare speciale di C, la cui unica diret- 
« trice è retta del complesso, corrisponde in S quella super- 
ficie A, per la quale è doppio il punto corrispondente alla 
direttrice della congruenza ». 
È poi vera, evidentemente, la proprietà reciproca, e cioè: 
« Nel complesso delle coniche seganti le cinque rette gp, 
<« quelle, che passano per un punto, stanno sopra una A, per la 
quale quel punto è doppio; e tutti i loro piani passano per una 
delle sei rette di A concorrenti nel punto doppio ». 
Le altre cinque rette di A concorrenti. nel punto doppio Ri corrispondono ai 
fasci di C aventi i vertici nei punti d’incontro di r coi piani x;; cosicchè ognuna 
di quelle cinque rette (n. 10) sega due delle cinque rette p;. Vedremo in breve 
che, invece, l’asse r del fascio dei piani contenenti le coniche della serie non può 
‘segare alcuna delle pi (n. 17). 
Nel caso presente l’involuzione determinata dalle coniche della serie su r, è tale, 
che ogni punto è accoppiato con Ri. in Ri si riuniscono dunque i punti doppi dell’in- 
voluzione. 
Dei raggi come ri se ne ha dunque uno per ogni punto R, di S; sicchè i raggi ri 
formano un complesso, che vedremo essere lineare. 
17) Preso nello spazio X, che contiene il complesso C, un punto arbitrario O 
A 
A 
N 
A 
