o 
ed indicati con (©) il piano del fascio, di cui O è centro, con w la conica di (e) 
segante le cinque rette p,: indicati poscia con a' la conica corrispondente in S al 
fascio di centro O, con (&') il piano che la contiene, con O' il punto di w corri- 
spondente (n. 13) al raggio principale o di O, noi possiamo stabilire due diverse 
corrispondenze tra gli spazi Y ed S. 
Possiamo, in fatti, far corrispondere al punto O del primo spazio il piano (@') 
del secondo; e poichè in questo caso quando © descrive una retta d (n. 15) il piano 
(0') ruota attorno ad una retta d, la corrispondenza tra ® ed S è reciproca. Se poi 
un punto P di £ descrive il piano (&), la @ che ha P per punto singolare libero 
passa per o (n. 14 teorema 3°), quindi il piano (7') corrispondente a 9 in S (quello, 
cioè, che contiene la conica 7' corrispondente al fascio di centro P) passa per 0'; 
dunque in questa trasformazione reciproca al piano (+) luogo di punti di X corri- 
sponde in S il punto O' centro di una stella. 
Un altra rappresentazione dello spazio SY su S si ottiene, facendo corrispondere 
al piano (4) di £ il piano (0) di S. In questo caso, indicate con d, di, d, 01 le rette 
del n. 15, si vede che se (%) ruota intorno alla retta d, il suo polo O scorre su di, e 
quindi il piano (w') ruota intorno a d,. Dunque la presente corrispondenza è colli- 
neare; e mentre nella precedente, che era reciproca, alle d, di corrispondevano rispet- 
tivamente le d,0,, nella attuale corrispondono invece ad esse le 01,0. Finalmente, 
se un punto P percorre il piano (4), il piano (x) del fascio di centro P passa 
per 0; come pure (lo abbiamo veduto precedentemente) il piano (7') passa 0"; cioè 
al punto O di S, centro di una stella, corrisponde in S il punto 0", pur esso centro 
di una stella. 
Dobbiamo poi notare che se le due rette d, dj si riuniscono in una retta r di 0, 
le due rette d,d, coincidono anch'esse in una retta + dello spazio S; cosicchè tanto 
nella corrispondenza reciproca, che nella collineare, alla retta » di £ corrisponde in S 
la retta r°. Segue che le rette analoghe ad r' formano in S un complesso lineare Ci, 
come è lineare quello C delle rette r di £. “i 
Nella nostra corrispondenza collineare sono manifestamente corrispondenti fra 
loro i piani 7;,77°; dei due pentaedri fondamentali; cosicchè alle rette »; (lati del pen- 
taedro fondamentale di C) di SX corrispondono le 7"; di $; e poichè le r; apparten- 
gono al complesso C, le »° appartengono al complesso Ci. Saranno anche corrispon- 
denti nei due spazi collineari X ed $S le rette 0;,";, che per altro non‘appartengono 
ai due complessi. 
È chiaro ora perchè, non segandosi tra loro in X le rette d,d, (reciproche 
rispetto a C), non possono segarsi in S le loro collinearmente corrispondenti d,, è: 
il che prova l’ultima parte del teorema 1°, n. 15. 
Come pure, non segando in generale una retta » di C alcuna delle cinque rette p;, 
nè pure la corrispondente 7’ di S segherà generalmente alcuna delle cinque rette 0';; 
il che abbiamo altra volta asserito (n. 16). 
18) Le proprietà ottenute nei numeri precedenti ci permettono di pensare ad 
una generazione del complesso Ci e quindi del complesso C, che è riferito (n. 17) 
collinearmente a Ci. 
Consideriamo infatti nello spazio Sil complesso €; , che può ritenersi completamente 
