— 431 — 
carica totale del piano: e, se gl’integrali che figurano nelle (5), (6), (7) sono con- 
vergenti, per il che si è veduto essere sufficiente, per esempio, la (7), gl’ integrali 
delle ultime formole, tendendo il limite inferiore al superiore, tenderanno a 0. 
In questo .caso 
lim eV=—Q, lim MEA SSA lim i agrari 
p==® p==% dI p=% dU p 
come per un sistema finito. E, se Q è finito, sì verificano così le proprietà caratte- 
ristiche per l'infinito, soddisfatte dai sistemi finiti. 
Giova notare che, se si ammette che la densità, per valori del raggio superiori 
a un certo limite mantenga sempre il medesimo segno, e che la carica del piano sia 
finita, allora, dovendo sussistere la (8), dovrà sussistere la (7). Però, stando quel- 
| l’ipotesi sulla densità, la circostanza che la carica del piano è finita basta perchè si 
possa concludere che la funzione potenziale e le sue derivate sono espresse da for- 
mole convergenti, tendono a 0 col portarsi del punto potenziato all’ infinito, e i limiti 
dei loro valori pei valori infiniti delle coordinate del punto potenziato sono î mede- 
simi che per un sistema finito. 
È poi appena necessario d’osservare che il confronto fra le formole relative al 
piano indefinito, e quelle relative ad un sistema finito si può ritenere esaurito, quando 
si è verificata la convergenza delle prime, e si sono trovati i loro limiti per l’ infi- 
nito. Abbiamo già osservato che il processo generale deve essere ancora applicabile, 
per fornirci l'equazione caratteristica del piano 
dV \ Ò 
fn 2 h = 0 
( dd cli 7 d? 
È altrettanto evidente che lo stesso processo generale ci servirà per concludere che 
le espressioni in discorso sono continue e ad un sol valore, e che V in tutto lo spazio, 
esclusi i punti del piano, soddisfarà all’equazione differenziale 
DA d ( DE 
w eee =) 
dI w du 
IV. 
Le condizioni svolte nel paragrafo precedente ci servirebbero direttamente, nel 
| caso che si dovesse studiare l’attrazione di un piano indefinito, data la densità dell’agente. 
Ora è noto per un celebre teorema di Dirichlet che la funzione potenziale di 
un sistema finito qualsiasi è dalle sue proprietà generali e da alcune circostanze par- 
ticolari ai diversi problemi perfettamente definibile nei singoli casi, per modo che 
una funzione che soddisfaccia a tutte le accennate condizioni non può essere che la 
funzione potenziale medesima. Per trattare la questione analoga, nel caso di un piano 
indefinito, incominciamo coll’ occuparci delle condizioni necessarie per definire una 
funzione delle coordinate di un punto simmetrica intorno ad un asse, quando il punto 
è obbligato a moversi nello spazio compreso fra un piano indefinito e la sfera al- 
l’ infinito, o nello spazio compreso fra due piami indefiniti perpendicolari all'asse, 
” 
