— 432 — 
Sia V(2,u) la funzione considerata: e supponiamo che sia obbligata a soddi- 
sfare a tutte le proprietà caratteristiche di una funzione potenziale, la più generale, 
ammettendo ch’essa possa emanare da un sistema composto di corpi, di superficie, 
di linee, e di punti — escluse le proprietà relative ai punti di coordinate infinitamente 
grandi. Supporremo invece che per 2 =; (x; designando l’ascissa di un piano li- 
mite) V (x, 4) debba ridursi a determinate espressioni, che potranno essere funzioni 
date di «, o date costanti. Vediamo se, e quali condizioni è necessario d’aggiungere 
perchè V (@, «) sia completamente determinata nello spazio considerato. 
Però, seguendo il ben noto metodo di Dirichlet, immaginiamo che esista una 
seconda funzione V' (2, v), la quale soddisfaccia a tutte queste proprietà, e conside- 
riamo la funzione W (2, u) = V' (2, u) — V (2, u). Si vede facilmente che W (2,0), 
in tutto lo spazio, ad eccezione di alcune superficie, linee o punti particolari, sod- 
disfara all’equazione di Laplace: sarà funzione ad un sol valore, finita e continua: 
finalmente, sul piano €«=,, qualunque siano i valori che vi prende V(x,w), si 
ridurrà a 0. 
Per le prime proprietà, se s’immagina di circondare i luoghi singolari con su- 
perficie opportune, in tutto lo spazio (S°) chiuso da queste superficie e dai limiti 
dati, W (2, ) soddisfarà all’ equazione 
dW 
dn 
fw 
(e7 
da + | A1WdS=0: (a) 
0 N 
dove i 
siwa( (RE i 
da du }. 
dinota, come d’uso, il parametro differenziale primo, o designa il complesso dei li- 
miti di S', e n la normale a o diretta verso S'. 
È noto che, se si restringono indefinitamente le superficie di cui sono circondati 
i luoghi singolari, così che S' tenda a tutto quanto lo spazio (S) concesso alla va- 
riabilità di 2, w, la parte del primo integrale dovuta ad esse tende a 0, così che 
infine non rimane più che la parte dovuta ai limiti dati per S, mentre il secondo inte- 
grale si deve estendere a tutto S. 
Per noi questi limiti si riducono nel primo caso, ad un piano indefinito e @ 
una calotta della sfera all'infinito: nel secondo caso, a due piani indefiniti, paral - 
leli, e alla fascia cilindrica, che si può immaginare che ne congiunga i lembi all'infinito. 
Però calcoliamo l’integrale di superficie, nell’ipotesi che sia esteso ad un piano 
indefinito, ad una calotta sferica, e ad una fascia cilindrica. 
Adoperando l’indice è per designare valori presi sul piano «;, se si tratta di un 
piano, l’integrale in discorso diventerà 
Ma, per ciò che si è osservato, W,= 0. Quindi gl’ integrali di questa forma 
saranno nulli. 
Nel caso della calotta sferica, designiamone con R il raggio, do = R°do, @ 
