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e log, e per u=00 con Jo (mu), mentre questi due valori di v sono compatibili 
con entrambe le ipotesi sull’ estensione dello spazio. ; 
Del resto, una soluzione, che non presenta gl’ inconvenienti accennati, si avrà 
da (9) (fattovi D=0)»per ogni valore reale di m, e qualunque siano i valori di AC, BC. 
Siccome l'equazione (@) è lineare, sarà ancora un integrale di essa l’ integrale di 
questa espressione, dove AC, BC si considerino come funzioni arbitrarie di m, prese 
per rispetto ad m, fra i limiti m=—c e m==oo. Designiamo queste due funzioni 
con @(m), d(m). Dipenderà da esse che l’ integrale sia convergente, e che si man- 
tengano le condizioni soddisfatte da (7). 
Per la stessa ragione, si potrà aggiungere a questa nuova soluzione la (y)', dove 
si farà D'—= 0, e si porrà A = a, B'C'—d. Si avrà ancora così una soluzione 
di («) assoggettata alle indicate condizioni, 
Concludiamo quindi che una soluzione di (a) è la seguente funzione, che rac- 
chiude le due costanti arbitrarie a, 0, e le due funzioni arbitrarie 0 (m), d.(m), 
®—=a+ dba + {{0 (men 4 (m) en) Jo (mu) dm . (d) 
A questo punto conviene distinguere il caso dello spazio limitato da un piano 
e da una calotta sferica (I° caso), e quello dello spazio limitato da due piani inde- 
finiti paralleli (II° caso). 
In entrambi i casi però la determinazione delle funzioni arbitrarie si appoggia 
alla seguente formola di Hankel (Die Fowrier'schen Reihen und Integrale der Cy- 
linderfunctionen, nel tomo 8,° a pag. 471 dei Muthematische Annalen) 
1) — (63. (22) d8 fer) ne) da, © 
che serve ad esprimere una funzione f(é) data per 0 >—E < co mediante un doppio 
integrale. i 
Giova rammentare che questa formola ammette le stesse condizioni di legit- 
timità che il teorema di Fourier: per modo che sarà certamente legittima, nel caso 
che f (€) rappresenti la dipendenza di una funzione potenziale ordinaria da una delle 
coordinate. 
T° caso. 
Facciasi 
o(mM=g-m=0, 
Uy(—m)=0, p(mae—m [ nU (0, vu) Jo(mn) dn, 
"0 
AA 0E=0P 
Si trova così la soluzione 
OT_AT j me" To (Mu) dm | nU (0, n)Jo (mm) da, (8) 
*0 *0 x 
la quale per 2= 0, in virtù di (e), si riduce al A—U (0, «), e per # = co, po- 
tendosi sempre supporre x positiva, immaginando diretto verso lo spazio considerato 
l’asse delle @ positive, si mantiene finita. 
Si è posto b=0. Propriamente d deve determinarsi in modo che, per x ='00, 
