VII. 
In primo luogo, si rileva molto facilmente che l’integrale che figura in (9), 
preso fra 0 e co, è convergente. Vi figurano difatti come fattori le funzioni Jo(mMR), 
Jo (man) senh (x, —x)m 
0 ra ERIN NE 
senh 2mA 
nite, e per m tendente all’infinito tendono a 0, le prime due almeno come m ?, 
e le ultime due più rapidamente che qualunque potenza negativa di m. Le tre prime 
funzioni possono per valori particolari dei parametri (R=0, u=0, x, —ax=24) 
ridursi all’unità, non così la quarta, poichè supponiamo che il sistema inducente non 
arrivi fino all’uno o all’altro dei piani. Si ha quindi sempre un fattore che col cre- 
scere di m oltre ogni limite, tende a 0 come una potenza negativa di m di espo- 
nente infinito, e ciò basta per concludere che l'integrale è convergente, in ogni caso. 
L’integrale in discorso definisce adunque una funzione sempre finita di x e di w. 
senh(x — 2;)m 
senh 2mA Jo(on1) ) SOA 
appariscono, sono per tutti i valori delle due variabili attinenti al problema finite, 
continue e ad un sol valore, noi possiamo anche concludere che la funzione delle 
variabili medesime definita dall’integrale, sarà per quei valori anche continua e ad 
un sol valore, e che per trovarne le derivate si potrà derivare sotto al segno d’integrazione. 
Le stesse conclusioni si devono estendere all’espressione 
e", le quali nei limiti dell’integrazione sono sempre fi- 
soj> 
Dalla circostanza che le funzioni di x e di « ( 
D 1] 
senh (e, — w)m TR 
Go siete, Jo (mR) Jo (mu) dm. 
0 
| 
Essendo 9' finito, ciò è evidente nel caso che S rappresenti una sommatoria ordi- 
x 
naria, che abbraccierà un numero finito di termini, perchè il sistema inducente si 
suppone finito. Nel caso che N rappresenti un integrale, sarà 9 = Dds, dove D 
può rappresentare una densità lineare, superficiale o corporea, e ds secondo i casi 
un elemento di linea, superficie 0 corpo, mentre l'integrale dovrà essere esteso a 
limiti di linee, di superficie o di corpi. Siccome, nella nostra ipotesi, questi limiti 
saranno però in ogni caso finiti, e D sarà, nei limiti dell’integrazione, una funzione 
finita, 1’ operazione N non potrà ancora presentare nessuna singolarità, e reggerà la 
proposizione enunciata. 
Concludiamo che la (9) definisce una funzione ® di x, «, nei limiti del pro- 
blema, finita, continua e ad un sol valore. 
Formiamo ora le derivate di ®, per il che approfittiamo della dimostrata le- 
gittimità della derivazione sotto il segno. Troviamo così 
(0 0) 
= 
dd MASS cosh (2,—-x) —d;m 
ui — L ica (6) ; 7, ) 
> 2A 1) 2A S DI AA mIo(mR) Jo (mu) dm (10) 
