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Questa equazione coesiste con quella che fornisce il teorema del numero pre- 
cedente, e siccome fra le lunghezze a, d, c, ..... ‘I non può aver luogo più d’una 
relazione distinta, si ha la proporzione 
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la quale contiene il teorema: 
« Se F=0 è la relazione che ha luogo fra le lunghezze dei lati di una figura 
« con una sola linea sovrabbondante, le derivate parziali della funzione F rispetto 
< alle lunghezze stanno come i lati corrispondenti della figura reciproca, tenuto conto 
« dei segni statici ». 
7. In questo e nei due numeri seguenti dimostreremo direttamente, sebbene 
non generalmente, questo teorema, ch’ è un’ altra forma di quello espresso al numero 
precedente : 
« Il rapporto differenziale parziale fra le lunghezze di due lati di una figura 
« con una linea sovrabbondante è uguale al rapporto inverso dei lati corrispon- 
« denti della reciproca preso col segno —,e tenuto conto dei segni statici ». 
Siano AM=a, BM==b, CM=c, (fig. 2) tre segmenti rettilinei che congiun- 
gono tre punti A,B,C ad un quarto punto M del loro piano. Supposti fissi i punti 
A,B,C, e date due delle Innghezze a, d, c, è determinata la posizione di M e la terza 
lunghezza, laonde questa è una funzione determinata delle due prime, e son deter- 
minati i rapporti differenziali parziali fra due qualunque di esse. Per trovare quello 
di a rispetto a 6 si operi come segue: Si conduca per M la perpendicolare cy alla 
retta c e su di essa sì prenda un punto M; infinitamente vicino ad M e lo si con- 
giunga ai punti A, B, C. Siccome il tratto MM; di ci si confonde con l’arco di cir- 
colo di centro C e raggio CM, possiamo riguardare Mj come nuova posizione di M, 
per cui la lunghezza c sia rimasta invariata. Si conducano per M, le perpendico- 
lari a,, dj, alle a, db, e siano Pe Q i punti d’intersezione wa, e dd;. Siccome i 
tratti M, P_ ed MQ delle a, d) si confondono con archi di circolo di centri A e B 
e raggi AM, e BM;, ne risulta va — MP, 30 = MQ. Affinchè questi segmenti 
siano positivi se rappresentano aumenti della, lunghezza a, 0, si prendano come sensi 
positivi delle rette a, 2, i sensi AM, BM. Ora i triangoli rettangoli MPM,,MQM, 
danno : 
da — MP = MM; cos (ca) 
db — MQ = MM; cos (c1 d) 
e si ha inoltre 
(cra)== (ca) — (ceci) 
(cib) = (cb) — (ceci) 
per cui 
cos (c1a) = cos (ca) cos (ceci) + sen (ca) sen (cci) 
‘c08 (crd) = cos (cb) cos (cei) + sen (cd) sen (cei), 
le quali, essendo cos (cci) = 0, sen (cci) = = I, diventano 
cos (cra) == sen (ca), cos (crd) == sen (c0) 
