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ultimi, ed i triangoli della rete costituiscono tutti i poligoni chiusi ai quali corri- 
spondono nodi nella ficura reciproca. 
2° In una rete triangolare chiusa vi sono almeno due coppie di triangoli suc- 
cessivi, in ciascuna delle quali i lati liberi dei due triangoli, insieme col lato co- 
mune formano un nodo trilatero. Infatti se i lati liberi di due triangoli successivi 
appartengono ad uno stesso nodo, a questo non appartiene altro lato, che quello co- 
mune ai due triangoli, ond’ esso è trilatero. 
Dippiù, se ad un nodo, cui appartiene il lato libero di un triangolo, non ap- 
partiene quello di uno dei contigui, esso è più che trilatero. Tanti son dunque Ì 
nodi trilateri quante le coppie di triangoli contigui, i cui lati liberi appartengono 
ad uno stesso nodo. Adunque, se pur tutte le coppie intermedie di triangoli con- 
tigui non soddisfano a questa condizione, vi soddisfaranno almeno le due coppie 
estreme, perocchè, avendo ognuno dei triangoli estremi due lati liberi, uno di questi 
forma un nodo col lato libero del triangolo contiguo. La fig. 3* dà un esempio di 
rete triangolare chiusa, la quale contiene più che due nodi trilateri così fatti, mentre 
nell’esempio della fig. 4% ve n’ha due. soli. 
Sia f' una rete triangolare chiusa di n triangoli (fig. 5° a), nella quale non si ri- 
guardi il lato tratteggiato @), c a e un suo nodo trilatero formato dai lati liberi e, e 
di due triangoli col lato comune «. Nella reciproca f' (fig. 5°b)) si ha un triangolo 
c'a' e corrispondente al nodo c a e. Le due coppie di lati c',@' formano rispetti- 
vamente con, d',d' due nodi trilateri B,E corrispondenti ai triangoli abc, «ade 
della rete. Siano C il secondo nodo di cui fa parte d' e D il secondo nodo di cui fa 
parte d'. Il poligono CBED...... C, cioè d'a'd' .... corrisponde al nodo bad .... 
Finalmente i due lati c',e' fan parte di un nodo F, corrispondente al poligono cui 
appartengono i lati liberi c, e della rete. i 
Ciò posto, soppresso dalla figura { il nodo trilatero e @ e; e chiuso con un lato & 
il triangolo b d «, si sarà derivata dalla f un’ altra rete chiusa (x avente un trian- 
golo di meno, e d’altra parte si sarà formato il quadrangolo completo dc e da a, 
ch’ è pure una rete triangolare chiusa f.. La figura {1 ha i suoi nodi comuni con 
la (, tranne i tre bd..., dbe...., de.., nel primo dei quali, per passare dalla | 
alla fi si deve sopprimere a, nel secondo sopprimere c ed aggiungere «, e nel terzo 
sopprimere e ed aggiungere anche a. Adunque una parte della figura f' si può ri- 
guardare come parte della ['1 reciproca di {,, e per completare la f'1 basta soppri- 
mere il lato a' dal poligono d'a'd'.... cioè costruire il punto d’intersezione A delle 
rette CB, DE, onde il poligono corrispondente al nodo bd... di fj sarà CAD.... C. 
Dopo ciò la congiungente AF sarà il lato x corrispondente ad <, che completerà la 
figura. D'altra parte il quadrangolo completo ABEF è manifestamente la figura {", 
reciproca di {», ed in essa il triangolo BA E corrisponde al nodo bd... 
Da quanto precede risulta che dalla rete triangolare { di n triangoli, soppri- 
mendo un nodo trilatero ed aggiungendo un lato, si derivano le due altre (1, f» (aventi 
rispettivamente n—1 e 2 triangoli. 
Le due figure reciproche (1, (/» han comuni con la |" i lati omonimi tranne quelli 
che corrispondono ai lati d,d comuni alle tre figure [, (1, fa, i quali son dati dai 
segmenti intercetti da due terne di punti ABC, ADE. 
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