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Sui fondamenti della geometria projettiva. 
Memoria di RICCARDO DE PAOLIS 
proposta al Presidente per la stampa 
nelle ferie accademiche dell'anno 1880-31. 
PARTE I. 
I. Segmenti di una forma fondamentale di 41° specie. 
1. Un elemento E, che descrive una forma fondamentale di 1° specie, può muo- 
versi da una parte o dall’altra in due opposte direzioni che distingueremo col se- 
gno + 0 — attribuendo indifferentemente, ma costantemente, il segno + ad una, ed il 
segno — all’altra. 
Fissata la direzione del movimento se E partendo da una posizione iniziale E; 
arriva ad una finale E, diremo segmento E, Ex la parte della forma descritta da: E. 
Quando E percorre il segmento acquista successivamente le posizioni di altri ele- 
menti generatori che diremo compresi nel segmento E; En. 
Onde fissare completamente un segmento bisogna, oltre ai suoi estremi E; Ea, 
darne anche la direzione, ciò si ottiene per mezzo di un elemento E, compreso nel 
segmento, scrivendo E, E Ea, o pure per mezzo del segno corrispondente alla dire- 
zione ponendo + E, E». 
Diremo uguali due segmenti E, E°, E", E”, di una stessa forma o di forme di- 
verse, quando gli estremi E, Ea si possono contemporaneamente far coincidere con 
E", E", ed allora porremo E,Eg= BE". 
2. Dato il segménto E, Ex riterremo sempre possibile di far coincidere contem- 
poraneamente E, con E, ed E, con E; sovrapponendo la forma a se stessa. Ciò equi- 
vale a ritenere che la figura E,E. è simmetrica rispetto ad E, Ea, ossia presenta 
le stesse proprietà. considerandola nel senso E; E, o nell’opposto &,E,. Esprimeremo 
questo fatto ponendo E, E,==—E,Ei. 
3. Possiamo paragonare due segmenti diversi E',E'%, E", E" facendo coincidere 
E', con E”, e sovrapponendo le forme in modo che EE" cadano da una stessa 
parte di E; se E” cade nel segmento E', E, diremo E, E > E" Ea, se cade fuori 
di E',E'% diremo E, E2<E", E". Potendo poi supporre che H', sia posto in E", 
eche E, si faccia cadere dalla stessa parte di E”, possiamo anche dire E", E"»<E Es 
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