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o E",E",> EE, cioè dati due segmenti se il 1° è maggiore o minore del 2° vi- 
ceversa questo è minore o maggiore di quello ('). 
Se EE, > E",E" diremo che E", E", sono più vicini di E Ea. 
II. Le serie convergenti in una forma fondamentale di 1° specie. 
4. Sempre in una forma fondamentale di 1% specie consideriamo una serie di 
elementi 
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che si possono ritenere come posizioni di un elemento mobile. Se crescendo m, qua- 
lunque sia n, abbiamo En En, > Em En4+n, 0 gli elementi En En, si vanno sempre 
avvicinando (8) in modo da potere rendere il segmento E, Em+-n<6, dove e è un 
segmento dato piccolo quanto si. vuole, diremo che la serie è convergente, e l’indi- 
cheremo con S.. 
Nulla possiamo obbiettare contro l’esistenza di queste serie; in seguito vedremo 
che effettivamente ci si presentano con tutta la spontaneità desiderabile. 
5. Riterremo che gli elementi E di una serie convergente S., avvicinandosi in- 
definitamente, convergano verso un solo elemento limite E, (°), pure generatore della 
forma, e costruito dalla serie So. 
Ammettendo l’esistenza di questo elemento limite E, esprimiamo, e rappresen- 
tiamo, convenientemente la proprietà della serie S.. 
Diciamo che la serie S, ammette un solo elemento limite E, perchè non pos- 
siamo concepire due elementi distinti ai quali si avvicini indefinitamente, e contem- 
poraneamente, E,,. 
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(') Lobatschewscky (Geom. Untersuchungen Berlin 1840) e W. Bolyai (Tentamen in elementa 
matheseos..... Vol. I. Kurzer Grundrifs eines Versuchs u. s. w.$ 33), cercando di fondare le definizioni 
della retta e del piano, hanno osservato che si può introdurre il concetto di distanze uguali, e di 
distanze maggiori o minori, considerando due coppie di punti, invariabilmente connessi fra loro, senza 
ricorrere al concetto di misura. È però naturale che queste considerazioni poggiano sul postulato del- 
l’invariabilità delle figure geometriche nel movimento, postulato su cui è basato il nostro sistema 
geometrico poichè, come osserva Hotel (Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie 
élémentaire). «il serait difficile de trouver une seule démonstration d’une proposition fondamentale 
de géomeétrie, dans la quellè n’entre pas l’idée de mouvement géomeétrique plus ou moins déguisée ». 
(€) L'introduzione di questi elementi nella Geometria è analoga a quella dei numeri irrazionali 
nell'Aritmetica. Si tratta di rendere possibili costruzioni e considerazioni che altrimenti non lo sa- 
rebbero, ersi tratta di dare uniformità e generalità al linguaggio che esprime le proprietà geometriche. 
Klein (M. Annalen Bd. VI VII) credo che per primo abbia introdotto esplicitamente questo po- 
stulato chiamandolo il principio della continuità, ed esprimendosi così: « Wenn auf einem Gebilde 
erster Stufe eine unendliche Reihe von Elementen gegeben ist, die in ein Segment des Gebildes nicht 
eindringt, so soll es gestattet sein; von einem Grenzelemente, denn die Reihe zustrebt, als einem 
Vollig bestimmten Elemente zu sprechen ». Crelle ammette questo principio quando dimostra l’esistenza 
di un punto che divide un segmento rettilineo in due parti uguali, ed illettore può vederlo leggendo 
la sua Memoria sulla Geometria elementare pubblicata nel J. fiir di reine und angewandte Mathe- 
matik - Bd. 65. Un altro esempio si trova nella Memoria di Bolyai « Sulla scienza dello spazio as- 
solutamente vera..... ». (G. di Napoli Vol VI), quando ritiene che se BN è parallela ad AM in AM vi 
è sempre un punto F, ed un solo, in modo che sia BEM — FBN. 
