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Riterremo coincidenti due elementi E',E", quando sono costruiti da due serie 
9,8", i cui elementi E',,E",, aumentando m, si avvicinano indefinitamente. 
6. Supponiamo dati gli elementi E,E",...., s'intende per mezzo delle loro serie 
S,8"...., e supponiamo che partendo dagli elementi E',,E",.... sì arrivi a co- 
struire un certo elemento E,. Quando E',,E”,.... tendono a raggiungere E, E",.... 
anche E, percorre una serie S, e tende a raggiungere un elemento E, che viene così 
fissato. Le costruzioni sugli elementi E', E',.... vengono come limite di quelle stesse 
eseguite sugli elementi delle loro serie convergenti ('). 
III. Sistemi armonici. 
7. Onde ottenere un gruppo armonico di elementi generatori d’una forma, fon- 
damentale di 1° specie F, basta porne immediatamente tre distinti A BC, e poi co- 
struire il coniugato armonico di uno qualunque rispetto agli altri due. Mediante gli 
elementi di un gruppo armouico si costruiscono altri gruppi armonici, e quindi altri 
elementi della forma i quali alla loro volta danno origine ad altri gruppi armonici, 
e così via. Potendo proseguire indefinitamente queste operazioni, poichè i tre elementi 
sono distinti e quindi il quarto armonico non può coincidere con uno di essi, po- 
niamo infiniti elementi di F mediante i tre A BC. Il loro insieme lo diremo sistema 
armonico, e diremo elementi fondamentali, del sistema, i tre ABC che lo de- 
terminano. L 
Un sistema armonico può essere proseguito in infiniti modi prendendo tre ele- 
menti già costruiti come nuovi elementi fondamentali. 
‘8. Con un sistema armonico si può sempre arrivare ad un elemento della 
forma che coincida con un elemento dato 0 sia vicino ad esso quanto si vuole (*). 
(') Così nell’Aritmetica le operazioni sui numeri irrazionali si definiscono come il limite del 
risultato che si trova eseguendo le stesse operazioni sui numeri razionali delle serie che li determinano. 
(£) Staudt (Geometrie der Lage) si serve di questo teorema per costruire le forme projettive. 
Onde dimostrarlo osserva solamente che la serie armonica non si può arrestare bruscamente; però, 
come ha fatto rilevare Klein (M. Annalen. Bd. VI), sarebbe pensabile che gli elementi della serie 
armonica, benchè illimitati, non uscissero fuori di un determinato segmento senza giungere a trovare 
un’ ultima posizione dell’elemento. Dopo avere introdotto il principio di continuità, ed i Grenzelemente, 
Klein introduce un altro postulato « Sollten in der Reihe der harmonischen Elemente solche Gren- 
zelemente auftreten, so diirfen sie der Reihe zugezihlt werden », ed allora fa:vedere che il teorema 
di Staudt si può ritenere vero. Ma quest’ultimo postulato non è indispensabile; Liiroth e Zeuthen (M. 
Annalen. Bd. VII) hanno dimostrato rigorosamente il teorema, che ci occupa, ricorrendo al solo, prin- 
cipio di continuità. La dimostrazione è differente, in parte, da quella che io qui presento e che mi 
sembra più evidente e più facile a ritenersi. 
Un altro tentativo di semplificazione è stato fatto dal Thomae in una dimostrazione sostituita 
da Reye, nella sua « Geometrie der Lage », a quella di Staudt, in seguito alle giuste obbiezioni di 
Klein. Dico un tentativo poichè mi sembra che la dimostrazione, di cui parlo, contenga più nascosto 
lo stesso errore che si trova in quella di Staudt. Il lettore potrà giudicarne. Ecco in poche parole 
la dimostrazione del Tuomae il quale riduce la quistione a far vedere che se due punteggiate projettive 
sovrapposte hanno tre punti uniti, tutti gli altri sono pure uniti. « Siano ABC tre punti corrispondenti a 
se stessi, e sopra il segmento AB, che non contiene C, vi sia un punto P che non coincida col cor- 
rispondente P,. Se Psi muove nel senso ABC anche P, si muove nello stesso senso ed in B' coincide 
