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Vale a dire: un elemento della forma o appartiene al sistema armonico, e si 
può ottenere esattamente costruendo successivi gruppi armonici, o non appartiene al 
sistema armonico, ed allora è determinato come limite di una serie convergente di 
elementi del sistema. i 
Se un elemento E non appartiene al sistema, trattandosi di dimostrare che con 
gruppi armonici possiamo costruire gli elementi di una serie convergente la quale 
ammetta E per limite, basta far vedere che qualunque segmento E, EE, comunque» 
sia piccolo, contiene elementi del sistema. Supponiamo che ciò non sia, ovvero che E 
senza incontrare elementi del sistema si possa portare fino alle. posizioni Ei Es, co- 
struite come limiti di due serie convergenti S',S",. Prendiamo due elementi AB ri- 
spettivamente di S',S",, e costruiamo i gruppi armonici A E, E; E, BEE, E. Po- 
tendo avvicinare quanto vogliamo A ad E, e B ad Ea, anche E', E°, che si muo- 
vono nello stesso senso ('), si avvicinano quanto si vuole ad E, E, e quindi possono 
sorpassare un elemento C del sistema. 
Costruendo i gruppi armonici A BE; E", A BE, E" abbiamo due elementi E”, Ea 
che vengono nei segmenti AE", BE"; posto ciò l’elemento D coniugato armonico 
di C rispetto ad A,B deve stare nel segmento A B, ma non può stare nel segmento 
AE; 0 BE», perchè tutti i loro elementi hanno i coniugati armonici nei segmenti 
AF";, BE”, dunque sta nel segmento E; E». 
Ora essendo A BC tre elementi del sistema armonico anche D è un elemento 
del sistema, ma si trova nel segmento E; E, dunque è falsa l’ipotesi da cui siamo 
partiti, e perciò: 
Con un sistema armonico si può percorrere tutta la forma potendo arrivare 
a costruire un suo elemento qualunque (°). . 
Naturalmente per ottenere, con un sistema armonico, un elemento E,, limite di 
S,, basta costruire tutti gli elementi di Sc. 
9. La successione dei gruppi armonici che costruiscono un elemento costituisce 
la legge che, applicata agli elementi fondamentali, lo determina. Uno stesso elemento 
può essere costruito con diverse leggi equivalenti. 
10. A tre elementi ABC di un sistema armonico della forma F facciamo ri- 
spettivamente corrispondere: tre elementi A"B'C' pure di un sistema armonico di 
un’altra forma F', distinta o no da F. Allora ogni elemento E del sistema armonico 
di F si può ottenere con una certa legge partendo da A BC come elementi fonda- 
mentali del sistema: la stessa legge applicata ad A'B'C' conduce ad un elemento E', 
con P. Lo stesso avviene se il movimento è diretto nel senso CBA e allora PP, coincidono in A'. 
Abbiamo così un segmento A’B'-= A B che non contiene punti uniti; ma ciò è impossibile perchè 
è unito il coniugato armonico di C rispetto ad A'B', dunque....... ». Questo ragionamento dice solo 
che preso un segmento A'B', limitato da due punti uniti, si può entrare in esso pure con punti 
uniti, cioè che vi sono infiniti punti uniti che si avvicinano a P da una parte e dall'altra; ma non 
potrebbe darsi che questi elementi uniti si avvicinassero a due limiti tra i quali fosse P? 
(') Dalla teoria dei gruppi armonici prendo i due fatti seguenti: 
Due elementi di un gruppo armonico si muovono in senso contrario, o nello stesso senso, se gli 
altri due rimangono fissi e sono, o no, coniugati. 
(€) La dimostrazione non sarebbe più rigorosa se invece di prendere AB vicini quanto si vuole 
ad E, E, si prendessero coincidenti con essi; proprio questo è il caso considerato da Thomae. 
