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del sistema armonico di F", che diremo corrispondente ad E. Tutte ie leggi equi- 
valenti che costruiscono E applicate al sistema armonico di F' costruiscono E. 
Un elemento E di F ne determina uno E' di F', ed inversamente H' determina E. 
Abbiamo così costruita una corrispondenza univoca tra gli elementi dei sistemi ar- 
monici di Fed F. ; 
11. Un elemento E; di F, non appartenente al sistema armonico, è determinato 
con un processo di limitazione per mezzo di una serie convergente S., lo stesso pro- 
cesso di limitazione applicato al sistema armonico di F' ci conduce ad un elemento E, 
costruito con una serie convergente S', corrispondente ad S,.. Deduciamo che ogni 
elemento di F ha per corrispondente almeno un elemento di F. 
Se quattro elementi di F si seguono nell’ ordine A BCD, anche i quattro ele- 
menti A"B'C' D', corrispondenti in F', si seguono nello stesso ordine. Infatti sepa- 
rando i quattro elementi di F nelle due coppie AB, CD, che non si separano, ab- 
biamo una coppia MM, di elementi che le divide armonicamente, nell'altra forma 
vengono pure due elementi M',M', che separano armonicamente A'B', C'D', dunque 
anche i quattro elementi di F' si seguono nell’ordine A'B'C'D' (*). 
12. Un elemento E,, che non appartiene al sistema armonico, si può costruire 
con diverse leggi equivalenti. è facile vedere che tutte conducono ad uno stesso ele- 
mento corrispondente E',. Se ad E, corrispondono due elementi distinti E,E",, pos- 
siamo prendere tre elementi A'B'C' in modo che C° sia nel segmento EE", nel 
quale non sono A'B', e-che i quattro elementi si seguano nell'ordine A'B'C' E; 
allora anche i quattro corrispondenti si seguono nell'ordine ABC E,; ma se invece 
consideriamo A/B'E",C' troviamo l’ordine cambiato A BE,C, dunque ad E, non può 
corrispondere più di un elemento. 
13. Ogni elemento generatore di una forma, fondamentale di 12 specie, o ap- 
partiene ad un sistema armonico della forma, o è limite di una serie convergente 
di elementi del sistema armonico, quindi la corrispondenza univoca stabilita tra gli 
elementi di due sistemi armonici di FF, porta con sè la corrispondenza univoca 
di tutti gli altri elementi delle forme. 
Colle costruzioni fissate le forme FF' vengono descritte nello stesso modo da 
due elementi corrispondenti, perciò si dicono omografiche, e si dice omografia la legge 
che lega questa corrispondenza tra i loro elementi generatori. 
14. Stabiliti questi principî si deducono rigorosamente tutte le proprietà delle 
forme omografiche seguendo i comuni metodi di dimostrazione. Così si arriva. subito 
a concludere che due forme omografiche sono anche proyettive, ecc. ecc. 
(') Klein, onde passare dalla corrispondenza univoca degli elementi dei due sistemi armonici a 
quella pure univoca di tutti gli altri, ammetteva come postulato che « vier Elementen des einen Ge- 
bildes, welche eine Folge bilden, auch wenn Grenzelemente in Betracht kommen, allemal solche vier 
Elemente des anderen Gebildes entsprechen sollen, welche wieder eine Folge bilden ». Ma Darboux 
(Sur le théoreme fondamental de la ggométrie projective. M. Annalen Bd. XVII) ha fatto vedere che 
questo postulato segue dalla definizione stessa della corrispondenza colle stesse considerazioni che ho 
svolte. Darboux espone anche un altro mezzo per cui si può giungere dalla corrispondenza univoca 
degli elementi del sistema a quella, pure univoca, di tutti gli altri; però suppone cognite le coordinate 
degli elementi della forma. 
