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è diviso dagli elementi A,-1A;a... Ax: (1-2) Ax+(n-1) in n segmenti armonici ri- 
spetto ad Ax come origine, è perciò che chiameremo A» l'origine della serie 
armonica. i 1 
Data l’origine Ax e due elementi A,A,., della serie si possono costruire tutti 
gli altri. Basta dividere il segmento A,A,., in n segmenti armonici rispetto ad A», € 
poi servirci di due elementi consecutivi (22). 
25. Chiamiamo simmetrici rispetto ad A, due elementi A;A, che insieme ad A, 
comprendono lo stesso numero di elementi A. La condizione di simmetria è espressa 
dalla relazione 
i+k=2r. 
Abbiamo (24) Ao. Ap4a(A;A;g.. 0A... Axa Ag) Agp ora sed+k=2r l’ele- 
mento A, è il medio tra A,_1.... Ax-1A,, perciò le coppie analoghe ad A,A,. 
cioè (17) 
Le coppie di elementi A simmetrici rispetto ad A, formano un’ involuzione 
che ha Ax A, per elementi doppî. 
26. Cominciando da un elemento qualunque Ay saltiamo gli altri ad n—-1 ad 
mn—1, rimangono così gli elementi ; 
TETI ASGRVAIIA ARES TA a RESREOO i 
Tre consecutivi A/,1): AmA(r+1)» sono tali che A(-1mnA(+1)» risultano sim- 
metrici rispetto ad A,, quindi (25) il gruppo Aw A,mAfinA(G+1)» è armonico, e perciò 
gli elementi considerati formano una serie armonica che ha A&» per origine. 
Saltando ad n—1 ad n—1 gli elementi di una serie armonica si ha ancora 
una serie armonica, e colla stessa origine. 
27. Se invece supponiamo che gli elementi 
PIET CA ME RAGI (VAT, FAV VAO ds 108 
formino una serie armonica coll’elemento A» per origine, e dividiamo tutti i segmenti 
compresi da elementi successivi in n segmenti armonici rispetto ad A», si ha ancora 
una serie armonica, cioò: 
Dividendo, ciascuno dei segmenti compresi dai successivi elementi di una serie 
armonica in n segmenti armonici rispetto all’origine, si ha ancora una serie ar- 
monica, e colla stessa origine. 
Infatti dividiamo ciascuno dei due segmenti A/,_1)n Arn> AmA(+1) in n segmenti 
armonici rispetto ad A» , e sia 
Aw ° A(r-1)n ( A(r-1)nt1 PICNO ATI ASS Àw ° Af+1)n ( A(r+1)n1 ‘00 AGIO A 9 
allora viene i 
Av A(r-1)n Alr=1)nt1 Mai ATI A N Ax A (i-+1)n A Gr1)n1 DIOSO Ari À.n . 
Gli elementi A» A,, sono uniti, ed essendo (25) armonico il gruppo A» An AfrmiAf+1)w 
le coppie .di elementi corrispondenti appartengono all’involuzione che ha A+ A,, per 
elementi doppî, quindi sono armonici i gruppi 
Av AG AREA Anti Qoob AS ANA Afrza)ita Arena , 
ciò che dimostra il teorema. 
28 La seguente è un’altra proprietà interessante che discende dal teorema (25) 
fondamentale delle serie armoniche. i 
Ritornando alla considerazione degli elementi "7! C*=2,..:020!, che sono i primi 
