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si hanno p—1 elementi inseriti tra A,A,.,, e o—1 tra A.) Ar cioè gli ele- 
menti P, e gli elementi Q (19,26). 
Degli h.oot —1 elementi inseriti tra A, A,.-, ve ne sono mot—1, ed nor — 1, 
tra A,P,, ed A,-(n-1)Q» quindi tra P,,Q, ve ne sono 
N.r-1=(N-1)t+(7-1), 
dove N=pg5(h—1)+(np — mo). Saltandone successivamente N —1.ne rimangono 
t—1 tra P,,Q, ciascuno inserito in un segmento principale; questa è la conclu- 
sione che volevamo raggiungere. 
Supponendo o==19=1 la dimostrazione si applica al caso in cui P,,Q, siano 
elementi principali A, A,--(h-1)- 
Riassumendo: possiamo ritenere 1° che se il teorema è vero per un gruppo di 
elementi della scala è vero per tutti quelli inseriti tra i segmenti che determinano; 
2° che è vero per i primi elementi della scala che si costruiscono, cioè per quelli 
inseriti tra due principali. Ciò basta per stabilire il teorema in tutta la sua generalità. 
32. Conveniamo di ai gli elementi a e HE coi numeri 
.—T, — 2,— 1, 9, +1,+2,..,+7, 
che sono gli indici delle A, con ciò ogni OO Dci, determina un numero 
intero, e viceversa. In quanto agli altri elementi siccome ciascuno è inserito tra due 
principali consecutivi (31), se occupa il posto y tra quelli che dividono il segmento 
A.A,41ìn t parti converremo di rappresentarlo col numero 7 + ZL, facendo y uguale 
T 
successivamente a 0,1,2,..., r—2, t—l, 7 si hanno gli elementi A, Ar,1 e tutti 
i t—l inseriti fra loro. Inversamente un dato numero razionale ha sempre la forma 
r+ Z, dove y<7, e quindi rappresenta un solo elemento della scala, quello di 
iO] x tra i t—1 che dividono A,A,., in © parti. 
Si può stabilire una corrispondenza univoca tra gli elementi di una scala 
armonica ed è numeri razionali. 
Se X è un numero razionale l'elemento A) corrispondente percorre la forma nel 
senso ApA.+rAx , 0 nel senso opposto ApA_,Ax , se ) aumenta, o diminuisce, e 
viceversa. 
33. Abbiamo veduto come si trova il numero corrispondente ad un elemento 
costruito dividendo un segmento principale, adesso vediamo come si trova lo stesso 
numero quando l’elemento è determinato come quello di posto y tra i 7—1 inseriti 
fra due qualunque @ e bd. 
Gli elementi a e bd siano P, @, (31). I numeri 
0 1 2 h.pot-2 h.pot—1 h. pot 
r+ —— TLX —,fY+ sraaggrtto — ++ — ———__,lx 
pot pot pot pot pot pot 
rappresentano gli elementi che dividono ogni segmento principale 
A, Ax Ù Arci Ara gooooo ’ Ar+(h=2) A,+(h-1) ’ Ax(h=1) Arkh 
in pot parti, cioè gli elementi A,A,., e gli h.pot—1 inseriti. Saltandone succes- 
sivamente ot—1, a partire da 7, l’m° che si trova, cioè 
Mm . OT m 
a=t4 ——— = T+ — 
per: p 
bj 
