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Due elementi A), A), separano necessariamente gli altri due A), A), e l’ele- 
mento A), si può sempre costruire come limite di un elemento A)_ della scala de- 
terminata da A), Au, ed À), come origine. Se A), si ottiene prendendo l’elemento 
di posto y tra quelli che dividono il segmento A), A), in 7 parti armoniche rispetto 
ad A). ciò che è sempre possibile (31), segue che . 
Mu dm da x) sa ra . 
| X 
Nella forma corrispondente A), dà un elemento Alon , il quale pure occupa il 
posto y tra quelli che dividono A”), AG, in parti armoniche rispetto ad AI , quindi 
heard) £ 
X 
e (A1Am Ag da) = (Ma am M8 Pa) 
a) . 5 . . à , . . . Id 
ma quando A), si avvicina ad A)» An Si avvicina ad Au, (12), dunque 
(a Pm 23 VU) = — 
(AM a 3 )) _ (271 Pa [23 fa) 6 
Osservando che un gruppo di quattro elementi è sempre projettivo a se stesso 
deduciamo che qualunque sia la scala è costante il rapporto anarmonico dei numeri 
corrispondenti a 4 elementi, possiamo chiamarlo perciò rapporto anarmonico del 
gruppo e dire: 
La condizione necessaria e sufficiente per la projettività di due gruppi, cia- 
scuno di quattro elementi, è espressa dall’uguaglianza dei loro rapporti anar- 
monici. 
Dati quattro elementi è dato il loro rapporto anarmonico, quindi attribuendo a 
tre i numeri Xx Xe }z, arbitrarî, si può sempre determinare in modo unico il nu- 
mero ) corrispondente al quarto. Segue che 
La corrispondenza tra î numeri ) e gli elementi A) è completamente stabi- 
lita prendendo ad arbitrio tre elementi ed i numeri corrispondenti. 
: È i 1 SAR 
42. Possiamo porre \= allora basta conoscere dei valori proporzionali a 
2 
51€, per determinare un elemento della forma, e viceversa. Chiameremo &1é2 le coor- 
al 
dinate dell’elemento corrispondente al numero =. Per mezzo delle coordinate il 
0) 
rapporto anarmonico di quattro elementi viene espresso da 
(61017 8209) (El?) &2(0) 
(A da dg da) = (EVE E) (E) (0) (€01) E)? 
dove 
(Ea(7) El) = E(0) tg) — EM El", . 
quindi per due gruppi projettivi abbiamo 
(0) 60) EM E) _ (0109 na) (mil ma0") 
ETET) EVE) n ma) (VD) 
