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per polo rispetto a C, il punto P,,_1 e P, ha per polare la retta p1;: dunque P, e 
P,,.1 sono conjugati rispetto a C1; così la polare di P,,_1 rispetto a C, è Pra e il 
polo di p, è Pa, dunque Py P,,_1 sono conjugati rispetto a C.; seguitando così sî 
trova che sono conjugati 
rispetto a Co io E A aa aa 
» Ci ali aaa al oro IO 
Ora possono aver luogo due casi o r=m—r+1 da cui al. sem è dispari; 
in questo caso otteniamo una coppia di punti conjugati rispetto a Ca, che coinci- 
dono, ossia sono situati su Ca; oppure se m è pari si ha: 
raem_er 0 r=-, 
3 ° 2 : 
In questo caso un punto del gruppo cade in C1. Tacitamente abbiamo supposto 
in (+). Se fosse (—) succederebbe una cosa analoga. Dunque : 
Teorema IX. Se due punti qualunque P, P,, di un gruppo pro- 
Jettivo (P) sono conjugati rispetto ad una delle due coniche 
fondamentali (C, Ca. per es. C,, uno dei punti del gruppo cade 
in C, 0 C, secondo che m è pari o dispari. Allora i punti del 
gruppo {P) sono due a due conjugati rispetto alle coniche dei 
gruppi (Ri) ed (R»). Tutti i punti del gruppo (P) cadono rispetti- 
vamente nelle coniche del gruppo (R») o (Ri). 
Supponiamo finalmente che il punto Pj sia uno dei punti d'incontro delle due 
coniche C, Ca, allora le polari di P, rispetto a C, e C» ossia pi e p_1 sono tan- 
genti alle medesime in P,. Il polo di pj rispetto a C,, ossia Pa, è situato in p_1, 
la polare py di Pa rispetto a C, passa pel polo di p_j rispetto a C,, ossia P_1, che 
è situato su p1, dunque P_; Pa sono conjugati rispetto a Ci e Cs. Il polo Pz di pi 
rispetto a Ca è situato sulla polare di P_, rispetto a Ca, ossia p_a, la polare p3 
di Pz rispetto a Ci. passa pel polo di p_y ossia P_a; dunque P_s P3 sono conjugati 
rispetto a tutte e due le coniche Ci e C,; seguitando così si trovano le seguenti 
coppie di punti e rette conjugate rispetto alle coniche C, 0): 
PaPi5g Pebo,, RAR 
PiP_1, PaP2 > PmP_m 
Le rette del gruppo (p) passano rispettivamente per due punti immediata- 
mente consecutivi del gruppo (P) e formano perciò i lati di un poligono aperto, che 
ha per vertici i punti di (P). Esso è dunque polare reciproco di sè stesso rispetto 
alle coniche (R;) e (Ra). 
Sia data ora una tangente p, comune di C, Ca, i punti di contatto sono Pi e 
P.. La polare p—1 di P, rispetto a C, passa per Ps e contiene Pz, perchè pa passa 
per P,, onde si vede, che rispetto a Ci Ca sono conjugati gli elementi delle coppie 
ILA ROLO SARA RSI RO ROcA 
PiPi = PaPa1 Papa > + + PoP_mrd: 
Anche in questo caso abbiamo un poligono reciproco di sè stesso rispetto alle 
due coniche C 0». È facile di vedere pel teorema IX, che un tale poligono non può 
esser dato che da un punto d’ incontro di Ci Co oppure da una delle loro tangenti comuni. 
