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Teorema X. Se il punto Pj è uno dei punti d’incontro, oppure 
uno dei punti di contatto di una tangente comune a due delle co- 
niche C, Ca dei gruppi (Ri) e (Ra), i punti del gruppo (P) formano un 
poligono aperto polare reciproco di sè stesso rispetto alle coni- 
che di (R;) ed (Rs). E se in un gruppo projettivo (P) i due punti PP, 
sono conjugati rispetto alle due coniche C,C», uno dei punti del 
gruppo cade in uno dei punti d’incontro di esse, se m è dispari; 
invece è un punto di contatto di una delle loro tangenti se m è 
pari. 1 
Per l’ultima parte del teorema hasta osservare che per m pari sono conjugati 
rispetto a C, C» gli elementi delle coppie 
ENI SSESE ee e Pn) 
PIPm-1 9 P2Pm-2 + - è PrPmr 
3. Abbiamo visto al n. 1, che le coordinate dei punti consecutivi di Py si met- 
tono sotto la forma: 
ue, = @d"Y; (1) 
ove m è intero qualunque. I punti del gruppo (P) sono situati in una curva trascen-, 
dente W, che. si ottiene eliminando p ed n dalle 3 equazioni (1). La sua equazione è 
LA Ag 9 d3 %3 di 
log — log —— + loo — log —— + loo — log —='0  - 2 
E Ge at Dog (2) 
ove 
1027 103] IR} 
log Gra a + log RT 0 (3) 
La (2) si pone anche sotto la forma: 
(2)° d, (2)° Ù, (2) SI e) 
Yi Ya Y3 
È evidente però che i coefficenti a, a, az devono essere (+), perchè altrimenti 1 
punti del gruppo (P) sarebbero situati in due curve W. Supporremo sempre ai ag 43 
positivi. La (2) può essere anche algebrica basta che 
(00) 43 di 
loe == s lee ==> le—==@?M% 
5 a 8a 5% Ni Ng: Ng 
ove n N23 sono dei numeri razionali qualunque. 
Queste curve trascendenti sono state accennate da Battaglini e da Clebsch e 
Gordan nei loro lavori ('), però furono elegantemente e distesamente studiate da Klein 
e Lie (*), senza però metterle in relazione coi gruppi di coniche, che stiamo qui stu- 
diando. La curva W di un gruppo (P), ha la medesima polare reciproca non solamente 
rispetto alle curve C4 C,, ma anche rispetto a tutte le coniche di (R,) ed (R2), come 
risulta dai teoremi I e VIII: Risulta dall’equazione della W, che ogni suo punto dà 
luogo ad un gruppo inscritto in essa, ciò che risulta pure dall’avere la W una sola 
(©) RUI NA 
(*) Math. Ann. vol. IV Veber djenigen Ebenen Curven, welehe durch cin geschlossenes System 
von einfach unendlich viele verlauschbaren Transformationen in sich ùbergehen. 
