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In queste diverse trasformazioni finite del sistema (5) variando 4, @ @o, varie - 
ranno anche i sistemi di coniche (R;) ed (Re); ossia stabiliti due punti P, Pa qua- 
lunque di W come punti immediatamente consecutivi, essi determinano le coniche 
di (R}) ed (Ra). 
Consideriamo una di queste coppie di gruppi (R,) ed (Re). Abbiamo visto che 
se un punto P; è situato in W tutti i punti del gruppo (P) sono situati su di essa. 
Sappiamo anche che i Jati e i vertici del triangolo fondamentale (Teor. IV) sono altret- 
tante curve W; da cui si deduce, che le coniche delle infinite coppie di gruppi (Ri) 
ed (Rs) hanno lo stesso triangolo fondamentale come conjugato. 
Una retta qualunque p, taglia le curve W in un certo numero di punti A, Bi Cr... 
e le rette consecutive di essa, taglieranno le stesse curve W, nei punti 
Ag B, Ca o 0 09 A3B3 03 o. 0 09 AGIRE toe e sl avrà 
AVIR OMO) AGI (AVS (CP 00) VAT EBA CO TATA Bi Co) 
Analogamente si conducano da un punto P, le tangenti alle curve W (com- 
presi i vertici del triangolo fondamentale) a101c1 . .., e si faccia la stessa cosa pei 
punti consecutivi di P, si avrà: 
(ax dici o 00 ) N (4903 ca oa o ) N (43 bg ca o 0 ‘è ) AVA RSETA\ (Am Om Cm o 010 ) 
Se per retta pi si sceglie una tangente ad una curva W, il cui punto di con- 
tatto sia Q, e siano AB, 4 i punti d’incontro di p, con i tre lati del triangolo fon- 
damentale, essendo le rette consecutive di p, pure tangenti a W nei punti consecutivi 
di Q;, tagliano i lati del triangolo fondamentale nei punti consecutivi di A1B;C, 
onde si avrà: 
(Q1A1B1Ci)=(Q249BsCo)= ....=(QnAmBnCm) (6) 
Analogamente se dal punto Q1,Q . - . Qu projettiamo i vertici del triangolo fon- 
damentale mediante le rette a1dic1, a9Dsca - | | - GnOmOm Si avrà; 
(Pi ab, c1) = (Pa d19 dg C3) Za... (Pm Um Om Om) (7) 
Ma abbiamo visto, che due punti qualunque di W possono essere considerati come 
punti immediatamente consecutivi di un gruppo projettivo rispetto ad una coppia di 
gruppi di coniche (R;) ed (R:), dunque le relazioni (6) e (7) sussistono ancora 
quando QQ, sono due punti qualunque di W. 
Se la curva W è algebrica, si può mettere sotto la forma 
(21) (2 VEE ni+n, o) 
YA Ya Y3 
supposto n ed n, (+). I punti di questa curva si possono esprimere in funzione di 
due parametri X e p, nella seguente maniera 
= PO a A 
I punti d’incontro di una retta «,=0 con la curva sono dati dall’equazione: 
un pritta + ug Xi +" + ug pn Xe = 0 
Differenziando rispetto a u e a X si trova la curva in coordinate di rette, che 
è precisamente della forma (2°) cioè della classe n + mn. Ora riassumendo si ha: 
Teorema XI. I punti di un gruppo (P) sono situati su una curva 
trascendente W, che ha la stessa polare reciproca rispetto a tutte 
le coniche dei gruppi (Ri) ed (R») individuate da C; e C,, Un suo 
punto qualunque P o una sua tangente qg dà luogo ad un gruppo (P) 
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