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Le proprietà di queste coniche si trovano diffusamente studiate nelle stesse le- 
zioni di Steiner pubblicate dallo Schròter (‘). Altri pure se ne sono occupati; le proprietà 
principali però sono riassunte nelle poche righe antecedenti, oltre che qui conside- 
riamo le proprietà dei cicli di punti (P)f. 
12. Il caso in cui n=3 presenta molto più interesse del precedente, special- 
mente per la relazione che esso ha con la curva del 3° ordine. Il ciclo di 9 coni- 
che, che risulta, credo non sia stato studiato ancora da alcuno. Se facciamo n=3 
il ciclo S,° si riduce ad un ciclo di 9 coniche. Abbiamo 3n=9 terne di 1 spe- 
cie e n—-2=1 sistema di 3 terne di 2* specie (A)(B)*(C)?. 
Teorema XXXVI. Pel caso n=3 il ciclo S3*? contiene 9 coniche. 
Con esse si formano 12 terne, 9 di 1* specie e 3 di 2°. Se di una 
conica di una terna si trova la polare reciproca rispetto ad un’ al- 
tra della terna, si ottiene la terza conica di essa (Teor. XIX, XXII, 
XXIV). 
Le coniche del ciclo $3%, disposte secondo le tre terne di seconda specie sono 
(A)? (B)° (0) 
i+ x + a =0 a+ a+ at =0 rat aa 3 = 
raat+rixt+x2=0 rr a+ x + 3 =0 ai +12 29 + a =0 
rar aot+a3*=0 rat+r0a8+a3=0 rad +r ca + a3—=0 
Si annullano i due invarianti Aa», A11, simultanei di due delle coniche di una terna, 
invarianti che per due forme qualunque ternarie @,°==0 u?,==0 si mettono sotto 
la forma: | 
dad da ove i=(00);, «= (00); 
tenendo conto che: 
leges g®=0 
Dunque: 
Teorema XXXVII. Ci sono infiniti triangoli inscritti e circoscritti 
ad una qualunque delle tre coniche di una qualunque delle tre 
terne di 2° specie, che sono conjugati rispettivamente alle altre 
due coniche della terna. 
Ad un punto P (7,273) corrisponde un ciclo di 9 punti (P)* che ha Jo 
stesso ciclo polare reciproco (p)® rispetto alle 9 coniche del ciclo $3°. Rispetto alle 
9 terne di 1° specie il ciclo (P)° si scompone in 9 cicli projettivi di 3 punti, 
situati rispettivamente in 9 rette, passanti tre a tre per ciascun vertice del trian- 
golo fondamentale. Rispetto alle tre terne (A)? (B)? (0)? si separa invece il ciclo (P)° 
in tre cicli (P.)? (P))? (Po). Essi sono: 
(Pa)? (P,)} (E 
Yi Va yi tia Ya TY Ya Y 
PYI TY, Ys Yi TY Y3 Y 1°Ya Y3 
rà, Tya Y3 riyi 1°Ya Y3 TY TYa Ys 
le rette dei cicli (pa)? (p,)} (p.)} hanno le stesse coordinate. Il ciclo (P.)* ha ri- 
spetto alle tre terne (A)? (B)* (0)? per polari reciproci (pu)? (0)? (po)?; (P,)* invece 
(') Steiner'sche Vorlesungen, Veber harmonische Kegelshnilte. 
