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che questi triangoli sono prospettivi in tre maniere differenti e che i tre centri di 
prospettiva (come anche le tre rette di omologia) formano un ciclo (Q,)} projettivo 
rispetto ad una delle terne di 2° specie. Ciò si dimostra facilmente anche per via 
sintetica. Infatti supponiamo che la polare di P rispetto ad una delle coniche di (A) 
sia pi, di questa il polo rispetto ad una delle altre due sia Pa, di questo la polare 
rispetto alla 12 sia pa, di questa il polo rispetto alla 2° sia P3, di questo la 
polare rispetto alla 1a sia p3, di questa il polo rispetto alla 2° sarà P,. Chiamo i vertici 
del triangolo pi pa p3 con Qi Qa Q3 È chiaro che i punti consecutivi di P, sono in 
un dato senso Ps Pz, nel senso opposto Pz Pa. Invece Qi nel primo senso ha per con- 
secutivi Q3 Qa e nel secondo Q, Qz. Siccome i due triangoli Pi Pa P3, p1 2293 sono polari 
‘reciproci, così le rette P, Qi, Pa Q, P3 Q3 passano per un punto 0,. Queste ultime 
tre rette non sono però consecutive, per quel che si è detto, dunque chiamandole a; 
bi ci le rette consecutive di esse cioè 4, 43, Da di, Ca €3, congiungono due a due i 
vertici dei due triangoli P, P, P3, QQ Qi, e le rette @» da c2, 43 d3 c3 s'incontrano 
perciò. in due punti 0, e 03. I punti 0, 0» 03 evidentemente formano an ciclo (0,)? 
rispetto alle coniche della terna (A)? e perciò anche a quelle delle altre due (B)? e (C)}. 
Teorema XLI. Uno dei cicli (P.)} (P.)? (P.)? e uno qualunque dei 
cieli (pa? (pi)? (pì formano due triangoli omologici in tre ma- 
niere differenti e i tre centri di omologia formano un ciclo di 
tre punti (0,)}. Analogamente per le tre rette di omologia. 
14. Due cicli qualunque (P)?, (Q,)}, non individuano una conica, perchè 
essa dovrebbe toccare due dei lati del triangolo fondamentale nei vertici del terzo, 
ed allora (Q,)? per es. non sarebbe più arbitrario. Un ciclo (R)3 situato sopra uno 
dei lati fondamentali, e i due cicli (P,)? (Q,)? determinano una sola curva del 3° ordine. 
Ogni punto M di questa curva pel Teorema XXVIII, dà un ciclo (M,)? inscritto in 
essa; analogamente per ogni sua tangente. La sua equazione dunque rispetto al 
triangolo fondamentale è della forma: 
C+ do + 33 + 6h, =0 
da cui risulta che essa ha nei punti di (R)? tre punti d’inflessione. 
Teorema XLII. Un ciclo (R)° situato in un lato del triangolo fon-- 
damentale e due cicli qualunque (P.)) (Q.)} sono situati in una 
curva del 8° ordine, che ha nei punti (R)} tre dei suoi flessi. 
Applicazione del caso n=3 alla curva del 3° ordine. 
15. Sia data una curva C3 generale del 3° ordine nella forma canonica cioè: 
%43 + do} + 33 +6 kai Ly Kg = 0. 
È evidente che a questa curva è coordinato il sistema S'} di 9 coniche cioè: 
3 3 3 
(A) (B) (C) 
ge leg =0 ret + ant +a3=00 rae+ ad +a3=0 
vai 1x0 + a3°—= 0 es RR MEO( ie ave 
3 2 ) 
rie— rag + x3*°=0 rat rag + 3 =0 va rata 0) 
1 2 3 1 2 3 lata p 3 
Se il punto P (Y1%»%3) è situato sulla curva C3, ci sono pure situati gli altri 
due punti del ciclo (P,)* ossia 7/1, 72ya, Y3; 12V1, "Ya, Y3; mentre i 6 punti dei cicli 
(P,)3(P.)? cadono fuori della curva. Così ha luogo per ogni tangente di C3 (Teor. XXVII) 
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