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l'equazione in coordinate di rette della Cz non può perciò contenere che le 3° o 
multipli delle 3 potenze delle variabili, oppure delle potenze del prodotto delle tre 
variabili, come si sa benissimo. Il triangolo fondamentale, come si vede, è uno dei 
trilateri della curva C3, e si trova perciò la C3 nelle stesse condizioni di quella del 
Teorema XLI. Invece del ciclo (1) possiamo considerarne infiniti altri, basta supporre. 
le variabili 21° 22? 23% dotate di coefficenti 41, 4a, ag del tutto arbitrarî, ma che 
restano gli stessi per le curve di un medesimo ciclo $3?, e che noi abbiamo supposto 
fin da principio positivi. Il ciclo (P)*, secondo quello che si è detto al n. 10, ha le 
stesse proprietà rispetto a tutti questi nuovi cicli S3® e così pure la C3. Per i 3 altri 
trilateri della 03 corrispondono al ciclo Sy? tre altri cieli analoghi di 9 coniche, 
prendendo sempre aj=d,=43=1 e così pure rispetto ad un altro ciclo $3* qualunque, 
mantenendo gli stessi a per i quattro trilateri. 
Teorema XLIII. Presa una curva del 3° ordine ©; qualunque, ci 
sono tre terne di coniche (A)? (B)? (Cf di un ciclo S3?, rispetto alle 
quali la curva è nelle condizioni del Teorema XLI. Il triangolo 
fondamentale è un trilatero della curva. Rispetto a ciascun tri- 
latero della curva c’è un sistema doppiamente infinito di questi 
cieli Ss 
‘ Teorema XLIV.Ilciclo(P)° corrispondente ad un punto P rispetto 
ad uno qualunque dei cicli Sg, che si riferiscono ad un trilatero 
della curva, si decompone in tre cicli projettivi (P.)}, (2)? (2). 
Se uno dei punti di questi cicli è situato sulla 03, gli altri due 
punti del ciclo cadono nella C3. Le tangenti in questi punti for- 
mano un ciclo projettivo di tre rette, rispetto ad una terna qua- 
lunque del ciclo Sg? 
Teorema XLV. Il punto di contatto e i tre punti d'incontro delle 
tre tangenti di un ciclo, circoscritto alla C,, con i tre lati del 
triangolo fondamentale, formano un rapporto anarmonico costante 
per tutte e tre le tangenti. Analogamente le tangenti in tre punti 
di un ciclo (P.), inscritto nella C3, e le tre rette che li congiun- 
gono con i tre vertici del triangolo fondamentale, dànno un rap- 
porto anarmonico costante per tutti e tre i punti. 
16. Abbiamo visto (Teor. XXXVII) che un ciclo (P,)° determina tre coniche, 
che toccano rispettivamente due dei lati del triangolo fondamentale nei vertici del 
terzo; una tale conica incontra la Cz in due cicli (P.)}, (Q)?; perchè dato un punto P 
comune alla conica ed alla C3, il ciclo (P,)* è situato tanto sulla conica come sulla 
C3. Per uno di questi cicli per es. per (P,)? passano due altre coniche, che hanno 
la stessa proprietà, dunque: 
Teorema XLVI. Una conica, che tocca due lati del triangolo fon- 
damentale nei vertici del terzo, taglia la 03 in 6 punti di due cicli 
projettivi (P.) (Q.3), rispetto alle terne (A)? (B)} (C)} dei cicli $3%, 
che si riferiscono a quel triangolo. Se la conica tocca la Cz in un 
punto, i due cicli (P.)? (Q,)? coincidono, cioè la conica toccherà 
la C3 in tre punti. 
