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Le coniche dei cicli S3?, n. 15, sono tutte immaginarie se il triangolo fonda- 
mentale è reale. Consideriamo il trilatero della Cg i cui lati riferiti al trilatero 
reale sono: 
a+ da += 9% 
Ta + 12%, + d3= 2 i (1) 
rx dd Ki, 4 Kg,= xg. 
Tre delle 9 coniche del ciclo S3"? corrispondente ad S3'? che si riferisce a questo 
trilatero, formano una terna reale, le altre sono immaginarie. Esse sono: 
TRE ce 2% Cg = 0 
Lo} =E 294 dg = (0) (2) 
Lg + 20% X%g=> 0. DI) 
Invece le nove coniche di un altro cielo $3* corrispondente ad un altro ciclo $3?, 
che si riferisce al 1° trilatero, sono tutte immaginarie. Come ben si vede le coniche (2) 
toecano rispettivamente due lati del triangolo fondamentale nei vertici del terzo. 
Per gli altri due trilateri, le cui equazioni rispetto al trilatero reale sono ('): 
Xi VXg + do = 0 di Te, 43 = 0 
XI + Xg + %3=0 te, + da + 0g = 0 (3) 
riv + rr, + 23 = 0 ra + Teo +Q3=0 
le 9 coniche dei cicli $3'"* Sy”? corrispondenti al ciclo :$3/? sono immaginarie. 
Osserviamo pure dall’equazioni dei lati dei tre trilateri riferiti a quello reale, 
che essi formano un ciclo di rette (p)® rispetto al primo trilatero. I vertici dei tre 
trilateri formano invece un ciclo di 9 punti (Q)? dunque: 
Teorema XLVII.I9 lati di tre trilateri della C3 formano tre cicli 
projettivi (p.) (pi)? (pa) di un cielo (p)°, e i loro vertici formano 
tre cicli (Q.)? (Q)? (Q)? di un ciclo (Q)® rispetto ai cicli $3%, che si 
riferiscono al 4° trilatero. 
17. Rispetto alle coniche delle tre terne (A)* (B)? (C)* del ciclo $3'? ha la curva 03 
tre curve polari reciproche. Infatti ad un ciclo (P,)} inscritto in €3 corrispondono 
tre cicli (po), (04), (pa), polari reciproci rispetto alle coniche delle tre terne. I 
tre punti d’inflessione di C3 sopra uno dei lati del triangolo fondamentale formano 
un ciclo (R)* (Teor. XL), e questo ha per polare reciproco rispetto a tutte le co- 
niche di un ciclo S3* un ciclo (r)?; se questo ciclo è S3'2, le rette del ciclo (r)? 
sono le tre rette armoniche dei tre flessi; onde le tre curve reciproche di Cz ri- 
spetto alle coniche del ciclo S3'?, toccano le 9 rette armoniche dei 9 flessi di C3. 
Analogamente per i cicli Sg" S3? S3"2, dunque: 
Teorema XLVIII. La figura dei 9 punti d’inflessione della Cz e 
quella delle 9 rette armoniche sono polari reciproche rispetto 
alle 86 coniche dei 4 cicli Sy? Sg"? Sy"2 Sy" che si riferiscono 
(*) Vedi Clebsch, Vorlesungen ueber Geometrie, p. 572. 
