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Se per un punto Pi (417273 Ya) operiamo la trasformazione polare nei senso C, C, 
abbiamo una serie di punti Pi Pa... P,..., le cui coordinate sono della forma 
a" y;, e analogamente quelle della serie dei piani polari Il, Ia. . . HI... La 
trasformazione polare nel senso C, C; ci dà la serie di punti P_y Pg . . . P_n . .- 
le cui coordinate sono della forma a; y;, così quelle della serie dei piani polari II 
Tl_y... II, ... Le coordinate dei punti consecutivi di P, sono dunque della se- 
guente forma: 
: aa Yi (3) 
ove m è un intero qualunque. È chiaro, anche qui, che il gruppo (P) determina due 
spazî projettivi, perchè i poli di un piano rispetto a due superficie di 2° grado Ci Ca, 
formano due spazî projettivi, i cui punti uniti sono i vertici del tetraedro conjugato 
comune delle due superficie Cy C,. Se il punto Py si muove in una retta 7, i suoi 
consecutivi si muoveranno nelle consecutive di r, descrivendo delle punteggiate pro- 
jettive; se P1 si muove in un piano II,, ì suoi consecutivi si muoveranno nei piani 
consecutivi di IT,, generando dei piani punteggiati projettivi; se P, si muove in uno 
spigolo del tetraedro fondamentale, tutti i punti del gruppo (P) si muoveranno in 
quello spigolo, se invece Pi si muove in una delle faccie di quel tetraedro, tutti i 
suoi consecutivi si muoveranno pur essi in quella faccia. 
Dunque per le due superficie C, Ca valgono i teoremi analoghi 
ai teoremi I e II dati per le coniche, ed inoltre 
Teorema LIV. Seil punto (P)è situato sopra uno spigolo del tetrae- 
‘dro fondamentale, il gruppo P è situato sul medesimo spigolo, se 
Pj è situato invece sopra una faccia di esso, il gruppo (P) è si- 
tuato su quella faccia, formando un gruppo. projettivo piano ri- 
spetto alle due coniche d’intersezione delle superficie CC, con essa. 
Se ledue superficie C, C, hanno unaretta comune e il punto P, giace 
in questa retta, ilgruppo (P) sarà situato sulla medesima retta. 
Se il punto Pi è un punto delle due superficie per es. Ci allora i piani del 
gruppo polare reciproco di (P) rispetto a C, Ca passano rispettivamente per un punto 
di (P), e i punti di (P) sono perciò due a due conjugati rispetto a O, e 03, in modo 
però che un punto del gruppo ha rispetto Ci e C, due punti conjugati distinti. Qui 
possiamo fare dell’analoghe considerazioni che abbiam fatto al n. 2, rispetto alle due 
superficie C, C3, per dimostrare che se due punti di un gruppo (P) sono conjugati 
rispetto ad una delle superficie C, C3, uno dei punti del gruppo è situato in una delle 
due superficie. Per le superficie C, Cx valgono i teoremi analoghi ai 
teoremi III, VI, VIL e IX. 
Teorema LV. Se il punto P; è situato sulle due superficie C, Ca, i 
piani del gruppo polare (II) di (P) passano ciascuno per due punti 
di (P). Analogamente se P, è uno dei punti di contatto di un piano 
tangente comune alle due superficie C Co. 
Siecome di un punto o di un piano di coordinate 123% sono consecutivi i 
punti o piani, le cui coordinate sono della forma @,° y,;, così di una retta, le cui 
coordinate sono p';,, sono consecutive le rette le cui coordinate sono: 
PP = Pi (4) 
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