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danno un rapporto anarmonico costante per tutte le rette del ciclo (E 
Projettando da quelle tangenti, i vertici del tetraedro fondamen- 
tale si ottengono 4 piani, che hanno uno stesso rapporto anarmonico. 
Qui possiamo fare la stessa osservazione del n. 9 e se ne deduce. 
Teorema LXXXV. Scambiando in tutti i modi possibili le 4 coor- 
dinate y1 423% di un punto P si ottengono 24 punti, situati 6 a 6 
in 16 coniche. I 6 punti di una conica soddisfano il teorema XXXIV; 
i 16 piani delle 16 coniche si separano in 4 gruppi rispetto alle 4 
facce del tetraedro fondamentale. I 4 piani del gruppo, che si ri- 
ferisce per es. alla faccia 2;=0 s'incontrano nella retta c,+%3+2,=0 
di essa. I 24 punti P sono situati in una superficie di 2° ordine. 
Teorema LXXXVI. Ogni punto, ogni tangente od ogni piano tan- 
gente di una superficie A, dà luogo ad un ciclo M di 24.n3 punti 
inscritto in essa o di 24.n3 tangenti o piani tangenti circoscritti ad 
essa. Le singolarità della A della stessa specie (per es. I punti 
doppî, i piani doppî ecc.) devono dar luogo ad uno o più cicli spe- 
ciali M il cui numero d’ elementi deve essere un divisore o un 
multiplo di 24 e di n°. 
Caso speciale n=2. 
31. Nel piano per n=2 abbiamo ottenuto 4 coniche. Nello spazio per n=2 sì 
ottengono 8 superficie di 2° grado; che possiamo chiamare pure armoniche, esse 
risultano anche cercando le superficie di 2° grado rispetto alle quali due date super- 
ficie sono polari reciproche. Sotto quest’ ultimo punto di vista furono accennate da 
Steiner (‘), alcune delle loro proprietà furono date da Battaglini (@). La ricerca un 
po’ intima di queste superficie, credo non sia stata fatta da alcuno; io qui enuncerò 
i teoremi, che più m’ interessano per lo sviluppo della II* Memoria, i quali non sono 
del resto che corollarî di quelli già enunciati. Le 8 superficie hanno per equazioni: 
not i da + dt + a =0 — i+ 0 + 293 + a = 0 
ci xo — 3 — af =0 (1) ol a+ a+ af = (2) 
-— Ie MSG AI] 2 DIMMI, AA) 
d0,) xa od Cit da UR =D 
xvi xt + a+ ag = 0 i del ag — 01. 
Come si vede facilmente queste 8 superficie si dividono in due gruppi di 4, in 
un gruppo si passa da un’ equazione all’ altra mediante lo scambio di due segni, 
mentre da una di un gruppo si passa ad una dell’altro mediante lo scambio di un 
solo segno. Pel teorema LXIX le 8 superficie incontrano gli spigoli del tetraedro 
fondamentale in due coppie di punti distinte, le coordinate dei punti per es. sullo 
spigolo w1==x%2=0 sono: | 
PA RE ESTA 
400) 400) 
Queste due coppie di punti le chiamo P?,P'13, P'12 P'1a, esse oltre che dividere ar- 
monicamente le coppie di vertici del tetraedro fondamentale, si dividono armonica- 
mente anche fra loro. Come si vede la coppia P'1» P‘12 è immaginaria. — Secondo 
(') Vol. 32. Crelle. 
() Atti della r. Ace. dei Lincei 1872, e D'Ovidio Giorn. di Battaglini vol. X. 
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