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Ora come è facile di vedere, l’insieme dei centri di similitudine di 4 sfere è iden- 
tico a quello studiato precedentemente; onde possiamo applicare a questo caso.i teo- 
remi già trovati e quelli che troveremo. Osservo che i vertici dei tetraedri (B) e (0) 
possono essere anche essi considerati, come vertici di 4 sfere, il cui sistema di centri 
di similitudine è egualmente dato dai punti P,, e P',,. Analogamente possono essere 
considerati i vertici dei tre tetraedri della 2% terna (P')(P")(P") come centri di 4 
sfere, i cui centri di similitudine sono i vertici dei tetraedri della 1° terna, dunque: 
Teorema VII. I vertici A,AsA3A, del tetraedro (A), e quelli di 
(B) e (C) sono centri di 3 gruppi di 4 sfere, il cui sistema di cen- 
tri di similitudine è dato dai punti P,, e P,, — Analogamente per 
i tetraedri della 2° terna — Dato un sistema di centri di simili- 
tudine, ci sono 3 gruppi di 4 sfere, che- hanno quel sistema in 
comune. i 
6. Abbiansi due tetraedri (B) e (Bj) fasciali con un tetraedro (A), ma non com- 
plementari, i loro vertici abbiano per coordinate: 
Yi Yo Y3> Yi Yi, Ya, — Ya, Yi Yi Ya Ya Yue Yi Ya YI 
Y1Y2 Va Vas UYU Y YI YI YA Ya 
Questi due tetraedri sono iperboloidici in 4 maniere differenti ( vedi n. 32, Mem. I° ) 
e i 4 iperboloidi da essi generati appartengono ad un fascio ed hanno il tetraedro (A) 
come conjugato. Essi passano anche pei vertici dei due tetraedri complementari (0) (C1). 
Abbiamo pure visto che (B) (C;) e (B;) (C) determinano altri 4 iperboloidi, che appar- 
tengono al medesimo fascio, dunque: 
Teorema IX. Due tetraedri (B) e (B,) fasciali con un tetraedro 
dato (A), ma non complementari, sonò iperboloidici in 4 maniere 
differenti.I4iperboloidi, così ottenuti formano un fascio ed hanno 
il tetraedro (A) come conjugato. I due tetraedri (C) e C3) comple- 
mentari ai primi danno luogo ai medesimi 4 iperboloidi. Consi- 
derando le coppie (C) (Bi) e (Ci) (B) si ottengono altri 4 iperboloidi, 
che appartengono al medesimo fascio. 
7. L'equazione di una superficie di 2° grado, circoscritta al tetraedro fondamentale, 
è della forma: 
XD 019 X1 Lo==:0 
Se in essa devono essere situati i tre punti 
Ys, Yo Yss Ya: — Ya = Y2,Y3 Yi = Y1Y, TY, 
si ha: 
(1) + @19Y1Y2 + U3Y1Y3 + da3Y2Y3z + diaYn yi + dan YaYyi + dg4YsYs = 0 
- — I — —_ + 
= TA 296 pr: pa Da 
donde 
A12Y/1 Ya + 413Y1Y3 — 423 Ya 3 — MY Yu + da Y2Y+ A Y3Y= 0 
cioè la superficie contiene anche .in tal caso il punto yi, —%.,—%3; Ya, dunque: 
Teorema X. Se una superficie di 2° ordine passa pei tre vertici 
di un tetraedro fasciale con un tetraedro.-in essa inscritto, essa 
passa anche pel 4° vertice. 
