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SL aeS 
Ora vediamo se dato un tetraedro qualunque inscritto in una superficie di 2° 
ordine è possibile di trovarne un altro inscritto nella medesima e che sia fasciale col 
dato. Abbiamo allora da determinare i rapporti Si DE 
Ya Ya Y4 
ciò che è possibile. Il tetraedro complementare sarà evidentemente conjugato rispetto 
alla superficie, dunque: 
Teorema XI. In una superficie di 2° ordine c’è sempre in gene- 
rale un tetraedro (B) ed uno solo, fasciale con un tetraedro dato 
(A) e pure inscritto nella superficie. Il tetraedro (C) complemen- 
tare di (B) è un tetraedro conjugato della superficie. 
Se si considerano i piani tangenti nei vertici di (B) alla superficie, questi for- 
mano un tetraedro, pure fasciale con (C) (Vedi Teor. V), dunque: | 
Teorema XII. Il tetraedro formato dai piani tangenti nei vertici 
del tetraedro (B) alla superficie di 2° ordine (Teor. XI) è pure fa- 
sciale con (C). Il tetraedro inscritto e il tetraedro circoscritto 
sono iperboloidici in 4 maniere differenti (Vedi Teor. XI) (*). 
8. Se è data una superficie di 2° grado 
(1) LI 
e un tetraedro qualunque (A), che supponiamo sia il tetraedro fondamentale, e se 
vogliamo, che i piani polari di un punto y172Y3% rispetto alla superficie ed al te- 
traedro coincidano, si deve avere: 
(2) Qy Oy Yi = @y Ya by 4 Ya = Oy Wi Ya, Gy Ag Y3 = dy UYa 
Come si vede le 3 equazioni (2) rappresentano 3 superficie di 2° ordine, che s' in- 
contrano in 8 punti, le coordinate di questi soddisferanno evidentemente alle 3 equa- 
zioni (2). Questi sono dunque gli 8 punti, che hanno lo stesso piano polare rispetto 
alla superficie e rispetto al tetraedro. Se il tetraedro (A) primitivo dato è conjugato 
rispetto alla superficie, le tre equazioni (2) diventano: 
(2°) ape = Ye day =UYE, dg UL 
ed allora si ottengono 8 punti, che formano col tetraedro dato due tetraedri (B) e (C) 
fasciali complementari. Questi tetraedri sono pure conjugati rispetto alla superficie 
di 2° ordine. 
I tetraedri (A) (B)(C) formano una terna analoga a quella da noi studiata, essi 
sono conjugati rispetto alla superficie (2°). Se poniamo a, =a,=d3=@,="1 la su- 
perficie (2°) diventa 
dalle tre equazioni (1), 
dit de + ag +ag=0 (2°)... S 
Gili spigoli opposti di (A)(B)(C) sono conjugati rispetto ad S, dunque i tetrae- 
dri (P') (P")(P”) della 2° terna sono pure conjugati rispetto ad S. Dato adunque 
un tetraedro conjugato qualunque (A) rispetto ad una superficie di 2° ordine S, esso 
determina una ed una sola sestupla di tetraedri fasciali, gli altri 5 determinano alla 
lor volta la stessa sestupla. Se la superficie S è reale allora due soli dei 6 tetraedri 
(') Chasles nell’Apercu historique « sur les théorèmes analogues des théorèmes de Pascal et Brianchon » 
dice che tali tetraedri sono iperboloidici, ma in una sola maniera, cioè che i vertici del tetraedro 
inscritto e i punti d'incontro dei piani tangenti negli altri tre, sono situati in 4 generatrici di un 
iperboloide. i 
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