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possono essere reali se invece è immaginaria, essendo il suo sistema polare intera- 
mente reale allora se il primo è reale gli altri sono tutti reali. 
Teorema XIII. Data una superficie S di 2° grado e un tetraedro 
qualunque (A) ci sono 8 punti, i quali hanno lo stesso piano po- 
lare rispetto ad S ed al tetraedro (A). Se il tetraedro (A) è conju- 
gato rispetto alla superficie, gli 8 punti formano due tetraedri (B) 
e (C) conjugati rispetto ad S e fasciali complementari rispefto ad 
(A). (A) (B)(C) e (P')(P")(P") sono conjugati rispetto ad S. Ogni tetrae- 
dro conjugato rispetto ad Sdà luogo ad una tale sestupladitetrae- 
dri conjugati rispetto ad S; se S è reale due soli dei 6 tetraedri 
possono essere reali, se invece la S è immaginaria, ma ha il suo siste- 
ma polare interamente reale, se uno dei tetraedri è reale, lo sono 
anche gli altri 5. 
Supponiamo data la S= 21° + 2. + 23°*— 2,3 =0 e il tetraedro y1,Y2,Y3Yk; 
Yi, Ya, D Y3y Yi Yan TY 3, Ya; — YisY — Y3:Y4 fasciale col tetraedro di riferi- 
mento. Il tetraedro polare reciproco del primo rispetto alla $ è pure un tetraedro 
fasciale col tetraedro di riferimento, donde : À 
Teorema XIV. Se di un tetraedro (B) fasciale con un tetraedro (A) 
conjugato rispetto ad una superficie di 2° ordine S, si costruisce il 
tetraedro polare reciproco (B), esso è pure fasciale con (A) ed è quindi 
iperboloidico in 4 maniere differenti col tetraedro (B) (*) (Teor. IX). 
9. Ritorniamo alla figura delle due terne (A) (B)(C) e (P‘)(P”)(P”). Abbiasi una 
retta £ cioè A1B;C,; B1C, sono divisi armonicamente dal vertice A, e dal punto A‘ 
d’incontro della retta A con la faccia opposta «1. Analogamente i punti BC d’ in- 
contro di & con le facce 8, e Y; di (B) e (C) sono i conjugati armonici di Bi e O, 
rispetto ad A4C; e Ax Bi. Sulla retta A si ha adunque l'involuzione A4 By C,, ABC, 
icui due punti doppî immaginarî E', formano coi primi tre punti o con gli altri tre 
un gruppo equianarmonico. Lo stesso succede peri tre piani «;17%;, che passano per 
la retta &' corrispondente alla retta A, B,C,; vale a dire si ha intorno ad #' un’invo- 
luzione di piani 1617, «81%, che contengono rispettivamente i punti ABC, 
A,B;C,. I piani doppî e di quest’ involuzione passano evidentemente per i punti E 
di A. Analogamente sulle rette &' abbiamo due punti immaginarî E' e intorno alle 
rette & due piani immaginarî e’. 
Le coordinate dei punti della retta A,B,C, sono 
nell = 1a =1héa= 1 
ove À un parametro. Il punto Ai si ottiene ponendo XA= co, By si ottiene ponendo 
) 0 e per Ci basta porre A — 4 (vedi n. 1). Per i punti doppî dell’involuzione 
Ai Bi (0785 A"; B4 (0277 si ha: 
ie =VESS 
di = 5 
(') Chasles nell'Apercu historique l.c. dimostra che due tetraedri polari reciproci qualunque. ri- 
spetto ad una superficie di 2° ordine sono in generale iperboloidici in una sola maniera. 
