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La S ha per tetraedri conjugati i 6 tetraedri della sestupla (Teor. XIII) ri- 
spetto ad essa sono conjugate le rette &/' corrispondenti, essa passa per i punti E: E' 
di esse ivi toccando i piani e ed e', passa per i punti P',, P”,. dei 18 spigoli, dei 
tetraedri della sestupla, onde contiene tutti gli spigoli immaginarî I dei tetraedri F. 
Mediante la trasformazione (2) n. 1 le SS, riferite al tetraedro (B) hanno per equazioni : 
No da + oa: = dn —0=$S ©) 
d1 La = rg gin =0 = Si 
La S, adunque passa per le coppie di spigoli Bj Bz, Ba By; Bi By, Ba B3. — Lo 
stesso avviene se adoperiamo la trasformazione fra (A) e (C), cioè la Si passa anche 
per due coppie di spigoli di (C). La Si passa perle 2 coppie di rette I del tetraedro 
Pi; P°1, P'3; P”3,, come si scorge da (1). Una di queste coppie si appoggia eviden- 
temente ad una coppia di spigoli di (B) e ad una di (C), oltre che appoggiarsi ad 
una coppia di spigoli di (A); dunque se ne conclude che le coppie di rette I sono 
solamente 6, ogni coppia di esse sì appoggia sugli spigoli di una terna di coppie di 
spigoli, che non s’incontrano (Teor. VII). 
Teorema XVII. Sopra uno qualunque dei 18 spigolidella sestupla 
fondamentale, per es. Aj Ap, ci sono due punti immaginarî P'9 P‘j9, 
che dividono armonicamente la coppia di punti Py Pa e Aq Aa — 
I 36 punti P',, P”,, sono situati 6 a 6 in 6 coppie di rette immagi- 
narie I, che s' appoggiano ciascuna ad una delle 6 terne di coppie 
di spigoli, che non s’incontrano (Teor. VII). 
Teorema XVIII. Con le due coppie di punti P', P”,, situate in due 
spigoli opposti per es. di (S), si forma un tetraedro F, che ha due 
spigoli reali e 4 rette I, come spigoli immaginarî. I tetraedri 
F sono 9 (‘) | 
Teorema XIX. Le 6 coppie di retteIsono situate sulla superficie 
S, che ha i 6 tetraedri dellasestupla fondamentale come conju- 
gati. — La S passa per i punti E ed E' delle rette A ed A ed ha in 
essi per piani tangenti i piani e ed e'. Le rette & A corrispondenti 
sono conjugaterispetto alla S. 
11. Abbiamo visto che l’iperboloide Sj cioè 
i at + 3 + 03 =0 
passa per due coppie di spigoli di (B) e di (C) e per due coppie di rette immagi- 
narie I. Lo stesso accade per i due iperboloidi Sg S3. — La superficie $ riferita a 
(B) si mette sotto la forma 
01% + aa + ag + 23° = 0 
i tre iperboloidi che con essa formano rispetto a (B) un gruppo di superficie armoniche sono 
x — 09° + 03° + 0;® = 0 
x + xa — e + xc/*=0 
ai? — ac, — 3° + cf = 0. 
(') La figura formata dai 6 tetraedri (A) (B) (C) (P’) (P”) (P’”) e dai 9 tetraedri F è precisa- 
mente quella ottenuta da Klein considerando 6 complessi lineari in involuzione. Le 15 coppie di 
spigoli opposti di questi tetraedri rappresentano le direttrici delle congruenze date dai 6 complessi 
due a due. Math. Ann. Vol. II. 
