PARTE II. 
Applicazione alle coniche e all’ Hexagrammum mysticum. 
29. Un piano quantunque taglia la figura dei 6 tetraedri di una sestupla in due 
terne di quadrilateri. 1 lati di due quadrilateri di una terna s'incontrano due a due 
nei lati del terzo in 16 punti #', perchè le facce dei tre tetraedri (A) (B) (0), s'in- 
contrano tre a tre nelle 16 rette h'. Analogamente avviene per i tre quadrilateri del- 
la 2* terna. Abbiamo 9 coppie di vertici opposti, come nello spazio abbiamo 9 coppie 
di spigoli opposti della sestupla. Le 16 rette & sono incontrate dal piano in 16 punti A, 
situati 4 a 4 in 12 rette (lati dei quadrilateri della 2% terna) le quali passano due 
a due per uno qualunque dei vertici dei tre quadrilateri della 1% terna formando con 
i due lati di questi un gruppo armonico. Quelle 12 rette rappresentano evidente- 
mente l’intersezione del piano con i 12 piani II, , che passano due a due per gii 
spigoli di (A) (B)(C), formando con le due facce, che s'incontrano negli spigoli, un 
gruppo armonico (Teor. IV). Dunque: 
Teorema LVII. Un piano qualunque taglia la figura di 6 tetraedri 
di una sestupla in due terne conjugate di quadrilateri fasciali. I 
lati di due quadrilateri della 1* terna s'incontrano due a due nei 
lati del terzo in 16 punti h, e quelli della 2% terna in 16 punti h. I 
vertici opposti dei quadrilateri della 1% e 2° terna sono gli stessi. 
Ilati dei quadrilateri di una terna passano due a due rispetti- 
vamente per i vertici degli altri tre, formando un gruppo armo- 
nico, coni due lati di questi, che passano per quei vertici. 
Abbiamo visto che ad una retta %, corrisponde un iperboloide H, che passa per 
6 rette A (Teor. XXXV). i 
Teorema LVII. I 16 punti h sono situati 6 a 6 in 16 coniche H; 
analogamente i 16 punti # sono situati in 16 coniche H'. 
Abbiamo visto pure che le superficie S;....Sg passano rispettivamente per due 
coppie di spigoli di due tetraedri della 1% terna (A) (B) (C), che sono anche due 
coppie di spigoli di due tetraedri della 22 terna (P') (P") (Pl) (Teor. XX e XXI), 
dunque: 
Teorema LIX. Due coppie di vertici opposti di due quadrilateri 
di una terna, che determinano anche due coppie di vertici opposti 
di due quadrilateri della terna conjugata, sono situate sopra una 
conica che ha il terzo quadrilatero, tanto della 1° quanto della 
2* terna, come polare, cioè tale, che i vertici opposti di esso sono 
conjugati rispetto alla conica. Queste coniche sono 9. 
La superficie S dà nel piano una conica, che ha i 6 quadrilateri come polari, e 
siccome abbiamo visto (Teor. XIII) che ogni tetraedro conjugato rispetto ad S dà 
luogo ad una sestupla di tetraedri fasciali conjugati rispetto ad S, così ogni qua- 
drilatero polare dà luogo rispetto alla S ad una sestupla di quadrilateri fasciali ri- 
spetto alla S. 
Teorema LX.16 quadrilateri delle due terne sono polari rispetto 
