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pel tetraedro (C) abbiamo invece: 
La —2Xoe a, —24010,%9%,=0 
onde il fascio di superficie, che ha per base le rette #', riferite ad uno dei tetraedri 
del fascio, ha per equazione: 
Lx -2Zax,}+(24+))x10,030,=0. (1) 
Consideriamo invece il fascio di superficie, che ha per base le rette fl e suppo- 
niamolo riferito ad uno dei tettaedri dei suoi punti doppî, per es. (A). La superficie 
del tetraedro (P') è 2 
(cia) (rta) (03+-2) (23) =0 
ossia aa ca — (a+ at) =0. 
Analogamente per (P") e (P‘) 
dit a + ag a — (01° 03 + 22° 2,°) = 0 
La aaa — (21° 20 + 23° 2?) =0 
onde il fascio di superficie del 4° ordine è 
ci c3 == ai o +) (21? Ly} sn q3È Là) se (A +1) (21° GR ln Vol X33) = 
Una superficie qualunque (2) non è altro che la polare reciproca della superficie 
dei centri di curvatura di una superficie di 2° grado. Infatti l'equazione della su- 
perficie dei centri di curvatura di un ellissoide è l’inviluppo delle superficie : 
TRIO pa 2 DR ET, 
eri eo e IO 
e la superficie polare reciproca rispetto alla sfera 
g+ y+ 2 — k=0 
è l’inviluppo delle superficie 
ad? 2 IE) Pinta ] 
(Cisa 2a PESCI = ya (0 a 33 k*—= 0) 
che si pone definitivamente sotto la seguente forma omogenea 
(3) a'? Vota x3} SE b'* 01 03 +c? Uona oa + pa Voi bt = gie Io? na ==(} 3} Dr 10 
a=a(b—c?), bV=b(c—-a?), d=c(a?—b?) 
[{=bbe 1 =130@ h'=kab 
Egli è facile di vedere come l’equazione (3) si possa trasformare nella (2). 
In un caso speciale delle superficie focali (Brennflàchen) di 3 sistemi di rette 
di 2° ordine e di 6° classe dotate di 12 punti doppî si presentò la superficie (2) (non 
il fascio (2)) a Kummer (*) sotto una forma un po’ diversa, egli nota però che 
essa è la polare reciproca della superficie dei centri di curvatura di un ellissoide, 
ma siccome non è entrato nella discussione della superficie, così gli sono sfuggite le 
16 rette, come sono sfuggite anche a Cayley che in una breve Nota (3) fece vedere 
come queste superficie di 12 punti doppî si possano dedurre da quelle di 8. Però 
(') Cayley, On the centrosurface ofan ellipsoid. Transactions of the Cambridge Phil. Society, 1873. 
(€) Kummer, Veber die lg. Strahlensysteme. Abh, der Berl. Ak. 1868. 
(*) Cayley, On a quartic Surface. Quartely Journ. XIV. 
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