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le proprietà dele superficie dei centri di curvatura delle superficie di 2° grado fu- 
rono da molti studiate principalmente da Clebsch, Cayley e Darboux ('), ma non ho 
trovato accennate in nessun sito le 16 rette e quindi tutte le proprietà, che qui svi- 
luppo per le superficie reciproche. 
36. Dato un punto di coordinate 71/273, rispetto ad (A) situato in una su- 
perficie del fascio (2) è chiaro, che in essa è inscritto il ciclo V, a cui quel punto 
appartiene riferito ai tetraedri della 1% terna; infatti il fascio si pone sotto la forma (2) 
anche rispetto a (B) e (C). Se congiungiamo i punti di V con le loro rette R 
corrispondenti si ottengono i piani tangenti alla superficie del 4° ordine del fascio 
che passa pel punto y1Y2Y3%;, e questi, come si sa, formano pure un ciclo V. Da 
ciò si vede subito, che l'equazione in coordinate di piani della superficie non potrà 
contenere che le 2° 0 i multipli delle 2° potenze delle variabili. Ciò fa vedere pure, 
che se un punto o un piano tangente alla superficie è singolare, di questi punti o 
piani ce ne sono 96, almeno che il punto o piano non abbiano una posizione spe- 
ciale rispetto ai tetraedri dei punti doppî, nel qual caso il cielo V si riduce ad un 
ciclo di 16 o di 48 elementi. 
Teorema LXXII. Il fascio di superficie di 4° ordine, che ha per 
base le rette A, riferito ad uno dei tetraedri del fascio della 
22terna si mette sotto la forma: 
do BI Sl Se, —2Xe} x} +(24+)) 2, 0,03 a,=0 (1) 
e riferito invece ad un tetraedro dei suoi punti doppî per es. 
(A) si pone sotto la forma: 
ata + 20 ci + A (0° ct + 23° 2) — (+ 1) (21° 2 + 202° 23°) =0. (2) 
Teorema LXXIII. Dato un punto P in una superficie del fascio, 
che ha per base le rette 4, in essa è inscritto il ciclo V, a cui dà 
luogo P rispetto ai tetraedri dei punti doppî del fascio, e i piani 
tangenti alla superficie nei punti di V formano pure un ciclo V. 
Teorema LXXIV. In generale una superficie del fascio è della 
122 classe. 
87. Se nell'equazione (1) (Teor. LXXII) si pone 
\= — 24 
si ottiene la superficie Lai 2Xa,e,=0 (3) 
Cioè nel fascio c'è una superficie nella quale dato un punto, non solo il cielo 
V corrispondente ad esso è inscritto nella superficie, ma bensì anche il ciclo V, che 
si ottiene da V trovando i conjugati di 1% specie dei suoi punti rispetto a un tetraedro 
della 2° terna. Di queste superficie nel fascio, che ha per base le rette A ce ne sono 
tre. Se nell'equazione (1) (Teor. LXXII) si pone A=— 48 si ottiene un tetraedro 
della 2* terna, onde se ne conclude che le tre superficie (3) del fascio di rette 
sono le conjugate armoniche dei tre tetraedri del fascio rispetto agli altri due. 
Teorema LXXV. Se di uno dei tre tetraedri del fascio per es. (P') 
sì determina la superficie conjugata armonica rispetto agli altri 
(') Clebsch, Veber das Problem der Normalen bei Curven und Fiàachen 2 Ordnung. Crelle 64. — 
Cayley, 1. c. — Darboux, Comptes Rendus, LXX. 
