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spazio X il piano polare di un punto fisso O, preso rispetto ad essa. Ad un punto di Y 
corrispondono evidentemente 8 punti, intersezione di 3. superficie del sistema X, e che 
Reye chiama associati. Applica questa trasformazione con ammirabile maestria allo 
studio della superficie di Steiner e di altre superficie interessanti e considerando poi 
il caso in cui le superficie di 2° grado di £ abbiano fino a 6 punti comuni, viene 
a considerare la superficie di Kummer ('). Per quanto so, il prof. Reye ha tralasciato il 
caso, che sto io qui studiando, in cui i risultati della trasformazione generale si 
modificano alquanto e divengono più semplici ed eleganti. 
Si dimostrano con semplicità i seguenti teoremi, che riunisco in un solo. 
Teorema LXXIX. Nella trasformazione ua?=%"; ai piani dello 
spazio XY corrispondono le superficie di 2° grado di X che hanno il 
tetraedro fondamentale (A) come conjugato. Ad una retta di Y cor- 
risponde una C' di 1° specie. Ad un punto di Y corrispondono in S, 
8 punti di un ciclo (P)6, che formano cioè 2 tetraedri fasciali com- 
plementari col tetraedro fondamentale (A). Ad una retta di Y, che 
passa per uno dei vertici di (A), corrisponde una C4, che si scom- 
pone in 4 rette passanti per lo stesso vertice di (A). Ad una retta 
di X', che si appoggia a due spigoli opposti di (A) corrisponde una 
Ci che si spezza nei 4 lati di un quadrangolo gobbo, lcui vertici 
sono posti in quei due spigoli. 
Ad una retta di £ corrisponde in SY' una conica, che tocca le 
facce del tetraedro (A). Ad un piano di Y corrisponde in Y una su- 
perficie di Steiner che ha per piani doppî le 4 facce di (A) ecc. 
Teorema LXXX. Alle superficie del 4° ordine, che passano per le 
rette 4, corrispondono in Yi coni di un fascio, che passano peri 
4 vertici di (A) e hanno per vertice il vertice By del tetraedro (B). 
Ad una generatrice di uno di questi coni corrisponde una Cf si- 
tuata sulla superficie di 4° ordine corrispondente, che passa per 
i vertici di (B) e (C). A due fasci projettivi di piani, che generano 
1l cono, corrispondono due fasci disuperficie di 2° grado di SY, che 
generano la superficie di 4° ordine. Ad un piano tangente al 
cono corrisponde una superficie di 2° ordine, toccante in una C' 
la superficie del 4° ordine. Alle 8 rette & situate in una delle 
superficie immaginarie del teorema LXXVI corrispondono 8 coni- 
che in x, che toccano le facce di (A) e il cono corrispondente ecc. 
Si potrebbero facilmente trasportare i teoremi di Pascal e Biranchon e le pro- 
prietà polari del cono a queste superficie del 4° ordine. 
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41. Se consideriamo invece la trasformazione ua, = ar —-, le superficie del fascio (1), 
n. 38, si trasformano in sè medesime. Dunque: 
Teorema LXXXI. Mentre un punto percorre una delle superficie 
del fascio, che ha per base le rette 4, i suoi conjugati rispetto ai 
(‘) Nuova edizione della Geom. der Lage II Vol. e Vol. 85, Crelle. 
