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tetraedri (A) (B) (C) si muovono pure nella superficie. Se un punto 
percorre una retta che tocca la superficie, i conjugati rispetto ad 
(A) (B) (C) si muovono in curve gobbe del 3° ordine, che passano ri- 
spettivamente pei vertici di (A) (B) e (C) e toccano la superficie. 
Alle 8 rette ho di una delle superficie immaginarie del teo- 
rema LXXIX corrispondono 24 cubiche gobbe situate sulla super- 
ficie ecc. 
42. Se di un punto y1%2 34 si trova la 1 polare rispetto ad una qualunque 
delle superficie del fascio (2), n. 40, essa ha per equazione: 
LI YA (003? E \x9} (> (A = 1) Li) = dg Yg (2,8 = Xarx? =" (41) x3°) 
+03 Ys (01° +20, — (+ 1) 22°) + 2 Ya (ca + Axa — (A+1) 21°) = 0. 
Ora per uno dei punti doppî della superficie per es. A1 (1,0,0,0) siriduce la 1% polare 
al piano 21 ==9 ed al cono 
dg} +AX2°— (A == 1) pe = 
che come si vede passa per le 4 rette A passanti per Aj. Ciò vuol dire che le ge- 
neratrici del cono toccano la superficie di 4° ordine in A; in 4 punti infinitamente 
vicini, onde le generatrici del cono hanno un contatto di 3° ordine con la super- 
ficie; questo succede evidentemente per ogni punto doppio della superficie ossia per 
ogni vertice dei tre tetraedri (A) (B) (0). I coni di due vertici di (B) e (C) allineati 
con Aj, devono essere per le proprietà sviluppate due coni corrispondenti nell’omo- 
logia involutoria determinata da A, e dalla faccia @,1 = Ag A3 A,, vale a dire i due 
coni devono incontrarsi in una conica di «, e devono perciò avere lungo la retta % 
lo stesso - piano tangente, che è il piano della conica, secondo la quale l’iperboloide H, 
corrispondente a quella retta A, incontra la superficie (Teor. LXXVII); quindi i tre 
coni triplamente tangenti alla superficie nei vertici di (A) (B) (C) di una retta 
s'incontrano due a due in una conica, situata sul piano opposto del terzo. Dunque: 
Teorema LXXXII. La 1* polare diun punto doppio peres.di A; delle 
superficie del fascio (h) rispetto alle medesime siriduce ad un cono 
ed alla faccia opposta a. I coni corrispondenti ai tre vertici dei 
tetraedri (A) (B)(C) di una retta & hanno lo stesso pianotangente 0, 
che è pure tangente alla superficie lungo la h (Teorema LXXVII), e 
s'incontrano due a due in una conica situata sulla faccia opposta 
del terzo. 
43. Se del fascio (2) costruiamo la schiera reciproca rispetto ad S è chiaro che 
si ottiene la schiera (4). Una qualunque delle superficie di essa è la superficie dei 
centri di curvatura di una superficie di 2° grado. In una tale superficie c’è una curva 
doppia del 24° ordine (‘) e pel Teorema LXXIII un punto tanto della superficie quanto 
della curva doppia dà luogo ad un ciclo V inscritto in essa. I punti singolari della 
curva doppia devono formare dei cicli V. Le 48 cuspidi di essa (outerops) formano un 
ciclo V ridotto, e siccome la curva tocca le facce dei 3 tetraedri (A) (B) e (0) in 
16 punti O situati rispettivamente sulle rette &', così formano un ciclo speciale V 
ossia in tal caso una configurazione speciale K (Teor. XLVI). Dunque: 
(') Clebsch e Cayley, 1. c. 
