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onde 
(M*+ N°) (a' a" a" glV) (0 d' D'" DIV) + AMN (M* + N?) (a'aa""bIV) (DDD qlv) 
+ GM? N° (d'a db) (b'b'aav)j=0, 
ovvero 
(7) (M*+- N°) (a, 0) + MN (M?2-+N?) (Ad) (Ba) + M? N° (Ff) (G9)= 
essendo (Ff) e (Gg) simboli formati analogamente ad (Fw) e (Gv). 
Questa equazione di 4° grado è reciproca, sicchè ponendo indaivdan S, essa 
si ridurrà ad 
(8) (S°—2) (a, b) + S (Ab) (Ba)+ (Ff) (G9g)=0. 
Per ciascuna delle quattro radici m:n o M:N della ‘prima, o della seconda delle 
equazioni (7), il primo, o il secondo, sistema delle equazioni (6) determinerà un 
punto Z, o un piano z, che ha nella correlazione lo stesso piano corrispondente, 0 
lo stesso punto corrispondente, sia che si passi dalla prima figura alla seconda, o 
dalla seconda figura alla prima; i quattro punti Z, ed i quattro piani z, così otte- 
nuti, in generale costituiscono evidentemente i vertici e le facce di uno stesso tetraedro, 
che si dirà tetraedro degli elementi învolutorî della correlazione. Prendiamo questo 
tetraedro per tetraedro fondamentale; si troverà facilmente che si potranno porre 
allora le condizioni (ponendo A; B;= C;;, ed a; d;= c;;) 
Ci1= 0 =/Ca=0x=0, Cii=" 99 =C33=C4=0, 
C12 021 Ca, Ca =" 1, CIa Co C34 Ca =1, 
Ciocia. = Co c21=1, Cagcgi = Cigc4,= 1; 
per i punti, e per i piani involutorî, sarà 
Mm (077 M Cc 
zi=0, z9=0, z3=0, n == nori, n=, Zo=0, Z3=0, Nar » b) 
A=0 ad gd, e Cai. Red, A=0, 40. M__ cs 
13 13 
Si) i ca fui i 
(67, 
c=0, 10, 1-0, — —— on Med Mi 0, Med, = a 
mn Cia M C19 
0Mz:=0z—0) a: Zo=0, Zi=0 Zo=0, == 
23 4 Z9 n Ci 0 OZ =0. N = 
e finalmente si avrà 
no (op) = C122012 + Co 2172 + Coe e3 Yi + Ciad y3=0, 
— (OY) = cir Xi Yo + ca Xa Ya + 034 X3 Yx+ cqa3X,Yg=0, 
(11) (R)=(C1a—021) T1i+-(Cg4—-C43) ra,=0; (r)=(c1at02) Ri2+ (C34—C13) Rgj=0, 
(12) (009) = (Cia + 021) pipa + (Ox4+-C;3) p3 pa =0, 
(00) = (C12 + €21) P,Pa Comi (034 + Cig) P3 Ire= OR 
| Segue da queste formole che le due superficie (99) e (00) di 2° ordine e di 
2* classe, hanno quattro generatrici rettilinee di comune, due di un sistema e due 
dell’altro sistema; esse costituiscono i quattro lati d’un quadrilatero gobbo, di cui i 
vertici e le facce sono i punti ed i piani involutorî della correlazione; per ciascun 
vertice del quadrilatero la faccia determinata dalle due generatrici comuni di (90) 
