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poichè allora Ag è necessariamente un covariante di g. Di più affinchè la © si pre- 
sentasse come un covariante di f si era condotti all'ammettere che essa fosse della 
forma A'.Q°f essendo A' una nuova operazione invariantiva della stessa specie della 
precedente ed Q l'operazione introdotta dal Cayley definita dal simbolo 
SAI oa il, 
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che è permutabile colle operazioni A. La formola di sviluppo sarebbe così 
f= (ey... uv). AAN'OPf= X (wy... uv)EO4. AAT 
e dipenderebbe da operazioni di duo tipi eterogenei. Noi però dimostreremo che esi- 
ste una certa operazione H della stessa natura di A tale che, qualunque sia la fun- 
zione F (2,Y,...,%,0) su cui si opera, si ha identicamente 
H.E = (xy... uv).0F. 
Questo fatto ci fece avvertire che l’operazione Q non è veramente essenziale per la 
teoria delle forme e che il nostro sviluppo poteva farsi dipendere dalle sole opera- 
zioni A. Di qui l’origine ed insieme il piano del presente lavoro: stabilire una teoria 
rigorosa delle operazioni A e da questa dedurre senza bisogno di artifizi lo sviluppo 
in discorso; finalmente come naturale applicazione stabilire la teoria dei covarianti di 
forme di specie qualunque in base a queste sole operazioni le cui proprietà princi- 
pali sono indipendenti dalla specie delle variabili. L’aver potuto stabilire alcuni teo- 
remi fondamentali che dimostriamo nel 1° $ ci ha permesso di ridurre ai minimi 
termini la grande arbitrarietà inerente al tipo generale dell'operazione A e valutare 
alcuni numeri caratteristici per mezzo di funzioni numeriche che sono una genera- 
lizzazione diretta delle funzioni già in uso nella teoria delle forme binarie pel cal- 
colo del numero dei covarianti di grado dato. 
Nel $ VI abbiamo ripreso fin dal principio la teoria dei covarianti dimostran- 
done rapidamente e colla massima generalità le proprietà più importanti finora cono- 
sciute, e nel $ VII abbiamo dedotto la loro forma simbolica (secondo Aronhold e 
Clebsch) come conseguenza delle equazioni differenziali dei covarianti e del sopradetto 
sviluppo di una funzione di più serie di variabili. 
All’ultimo $ abbiamo riservato la difficile questione sul numero dei covarianti 
di grado dato nelle variabili e nei coefficienti delle forme fondamentali. Dopo aver 
fatto dipendere i covarianti di un sistema di forme di specie 5 da sole e equazioni 
differenziali ed aver dimostrato in modo diretto ed assolutamente rigoroso che le con- 
dizioni lineari date da ogni singola equazione differenziale sono fra loro indipendenti, 
abbiamo disgraziatamente dovuto accertarci che le condizioni date da una seconda 
equazione differenziale sono in parte conseguenza di quelle date già dalla prima. Così 
la questione resta risolta completamente pel solo caso delle forme binarie (o="1) e 
precisamente nel modo altre volte stato contestato ma ormai già stato messo fuori 
di dubbio da una Memoria di Sylvester (Proof of the hiterto undemonstrated Fun- 
damental Theorem of Invariants. Philosophical Magazin. Marzo 1878, pg. 178). 
Così il numero che si presenterebbe naturalmente come generalizzazione immediata del 
numero relativo al caso di 7 =="1 non rappresenta che un limite inferiore del numero 
cercato, il che tuttavia non toglie la speranza che questo possa ancora esprimersi 
colle analoghe funzioni numeriche, quand’ anche in modo meno semplice. 
