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SI. Teoria delle operazioni invariantive (‘). 
1. Nella presente Memoria chiameremo serie di variabili di specie c 0, più 
brevemente, variabile di specie o l'insieme di o +1 variabili 21, 29,...,Z5+1 che 
entrino omogeneamente in tutte le funzioni razionali intere che dovremo considerare, 
ela rappresenteremo consegnatamente con un’unica lettera z, salvo indicare, ove sia 
necessario, il numero di variabili che essa rappresenta; il che del resto accadrà rara- 
mente essendoci noi proposti di stabilire in ciò che segue un ordine di considerazioni 
applicabili indifferentemente a forme di qualsivoglia specie. Come simbolo generale 
di una funzione razionale intera delle serie di variabili indipendenti 
x —= + o=M li S = SM M_M rI 
5 = 519 39, +, 5G+1,3 = 31, 392,093 +1, 3 = 13 3290093 glo ceco 
S È : RETI % i 
potrà valere il solito f (2, 2, 2%,...), ovvero P(G paper: ) ove importi mettere ove 
Bo Boca: 
importi mettere in evidenza che ogni termine della funzione contiene le variabili 
della serie z alla dimensione m, quelle della serie 2' alla dimensione m' ecc. I nu- 
meri m,m',m'",... si diranno i gradi della f nelle 2,2, 2%, ... risp. 
Se è è uno qualunque degli indici 1,2,..., c+1, la funzione f (2,2, 27,...) 
non si suppone necessariamente omogenea nelle variabili 2;, 2°;, 2%;,... Se k è la dimen- 
sione di queste variabili in un dato termine della funzione noi diremo che quel ter- 
mine è del grado k nell’ indice i. 
2. Seze $< sono variabili di qualsivoglia specie, noi designeremo con D,7 l’ope- 
razione elementare. 
d d d 
+ do dzs o ue Goti Bz 
cosicchè, se f è una funzione di gradi qualunque, anche nulli, delle variabili 2, $,..., 
riterremo : 
RA Df Df 
Def= Gi dz, Sg n Call Zc+1 
Distingueremo le operazioni D,6 in proprie ed improprie secondochè le variabili 2 e è 
sono indipendenti o sono una’ stessa variabile (z; = <.). Per un noto teorema di Eu- 
lero D,.;.f è uguale ad / moltiplicata pel suo grado nella serie z. Se la funzione / 
non contiene 3 si ha evidentemente D,:.f= 0. Fra.k serie di variabili 2, y, z,... si 
hanno k? operazioni elementari, cioè le k (k-1) operazioni proprie Diy, Dyer Dez --« 
CONI PIO PIEDE A DEE 
8. Il tipo più generale di un’ operazione eseguibile fra £ serie di variabili sarà 
per noi rappresentato da un aggregato razionale ed intero, a coeflicienti costanti arbi- 
trari, delle 4? operazioni elementari che si possono formare con esse; i termini di 
questo aggregato si diranno i termini dell’ operazione che distingueremo in mono- 
mia e polinomia secondochè si comporrà di un solo termine o di più. 
Il tipo generale di un’ operazione monomia sarà dunque 
A. Ò) 0 d)_1 00 . da 0 Ò1 
(') Abbiamo anticipato questa denominazione che si riferisce ad una proprietà di queste ope- 
razioni (Cayley, fourth Memoir.upon Quantics. Phil. Tr. 148) alla quale si deve il loro uso nella 
teoria dei covarianti. Vedi più in giù S VI, art. 73. 
