— 533 — 
dove agli esponenti ui, ua... non si devono dare che quei sistemi 
di valori peri quali la loro somma pip+ pa+.. +? non superi il 
massimo grado dei termini di A. 
Così, ad esempio, all’operazione: 
DES De DES DI DE De? ID a DE DES 
prodotto di 17 operazioni elementari fra 3 serie di variabili x, y, z deve potersi 
sostituire una somma di operazioni del tipo 
Di (97 
59 A DO 
og Er pe pis pi pes Va 
SA Da DO Da De Di Ds De IDEA De 
dove le « sono dei numeri interi e la variabilità degli esponenti fx è limitata dalla 
condizione X u= 17. 
Evidentemente basterà dimostrare il teorema pel caso in cui A sia un'operazione 
monomia. A tale scopo ci appoggiamo sopra le quattro identità seguenti che hanno 
luogo per tre serie distinte di variabili p, g, r indipendentemente dalla loro specie 
comune: È 
IL Dig DE = DE Dig == DA 
IL Dip Di — Do Do="Dyp 
A 1 
ML. Da Dod Dad (A) () 
IV. Dyp Da fer D,g Dy e D,p rai Da i 
Il teorema sarebbe evidente se due operazioni qualunque D,, e D,; fossero per- 
mutabili, qualora cioè D,y. D,; fosse sempre equivalente a D,, . D,,. Ora ciò ha luogo 
solamente nei tre seguenti casi: 
1° Quando p, g, r, s sono quattro variabili distinte. 
2° Quando le variabili p ed r sono identiche. 
3° Quando sono identiche le variabili qg ed s. 
come è chiaro pel principio che il risultato delle differenziazioni successive rispetto 
a più variabili è indipendente dall’ordine con cui si eseguiscono le singole differen- 
ziazioni. Negli altri casi non si può fare la permutazione senza alterare in generale 
il valore del risultato come si vede dalle formole (A). 
In generale i fattori Dj, Da, ..., Dya si presenteranno in A con un ordine che 
rispetto all'ordine prefissato presenterà un certo numero di inversioni ; se diciamo 
(*) Queste formole si verificano con grande facilità esprimendo la funzione generale delle serie 
di variabili p,g,7 su cui si opera colla notazione simbolica @, Di Cr. Vedi il S II. (art. 24). Così si 
troverà: 
DD AO NI 
rgPpr fd. 4 qer Er 40 
i Bi 
Dpp-Drg:f= dv dd 
\=t Dv 
D,g:f=A. 4 Ag Di C, 
onde: D,g Dorf DprDrgf = Dpgf ecc. 
