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aver luogo una inversione ogniqualvolta un'operazione D; è preceduta a destra, im- 
mediatamente o ad intervallo, da un’ operazione Dj; di indice più elevato. Ora si 
potrà sempre scrivere A come segue: 
ASIA ID o Dec AN 
dove Dj A' abbraccia soltanto operazioni D che si seguono già nell’ ordine voluto 
e D,; è la prima operazione elementare, che si incontra percorrendo il prodotto da 
destra verso sinistra, in cui ha luogo una inversione cosicchè è < j, A" poi rappre- 
senta l'insieme di tutte le operazioni che rimangono ad eseguirsi dopo D;. Ciò posto, 
se D; e D; sono di quelle operazioni permutabili di cui si è parlato sopra, potremo 
anche scrivere: 
INT ID Dr NSATD 5 DIA 
con che si sarà diminuito di un’unità il numero delle inversioni di indici. Negli 
altri casi si potrà eseguire la permutazione secondo le formole (A), cioè, a seconda 
dei casi ancora possibili per D; e D;, si potrà porre: 
INI Do Do NADA Do NSA Dago A 
ovvero 
IND NNT AID ANTA Dygol 
dove p e g sono due delle variabili @, y, 2, ... 
In ogni caso si potrà sostituire a A una somma di operazioni monomie, ciascuna 
delle quali sarà più semplice di A, perchè o il numero delle inversioni o il numero 
dei fattori sarà diminuito almeno di un’unità. E ciò basta perchè resti induttivamente 
stabilita la verità del teorema, poichè il numero delle inversioni e il numero dei 
fattori di A sono entrambi finiti e per conseguenza potranno con un numero finito 
di tali riduzioni diminuirsi opportunamente finchè o l’uno o l’altro riesca nullo in 
ciascuno dei termini di cui si compone il risultato. Nel primo caso si avranno termini 
in cui le operazioni si succedono nell’ordine prefissato, nel secondo si avrebbe un 
semplice coefficiente numerico intero. Del resto questo secondo caso non si presenterà 
poichè dalle formole di permutazione scritte sopra si vede che il numero dei fattori 
non verrà mai abbassato al disotto dell’unità. 
In tal modo l'operazione A ‘prenderà appunto la forma indicata dal teorema, 
poichè i coefficienti dei singoli termini riusciranno evidentemente numeri interi ('). 
6. Se si conoscono i gradi n, n9,..., n, che la funzione /, su cui si opera, 
ha risp. nelle x, y, z,..., l’ultima formola di permutazione di cui ci siamo serviti 
potrà semplificarsi ponendo in luogo di D,, e Dyy risp. il grado della funzione A' f 
nelle variabili p e g; e precisamente se d,, dj, m,, my sono i gradi di derivazione 
e di moltiplicazione (art. 4) dell’operazione A' rispetto alle p e g si avrà; 
A"D; D;Af=A"D;D;A'.f+j(+m,—d)—(6+m,—d)} A"A'.f 
—A"D;D;A'.f+ja—B+h}.A"A.f 
o 24 . O . . . 
(') Fra operazioni monomie D'1 ooo Di: , DI formate con serie distinte di esponenti non possono 
più aver luogo relazioni lineari che siano soddisfatte identicamente cioè qualunque sia la funzione su 
cui si opera e la specie delle & serie di variabili. Ciò risulta facilmente da quanto si dimostrerà nel 
seguito di questo stesso S. 
tali 
