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che hanno per primo indice la x e sono fra loro permutabili, quindi le operazioni 
proprie, del pari fra loro permutabili, che hanno per primo indice la y e così via. 
Così non rimarrebbe altra arbitrarietà che nella scelta degli esponenti, fra i quali 
debbono tuttavia aver luogo le relazioni ora menzionate. In questo modo il numero 
dei termini non sarebbe più d/lmitato poichè una stessa operazione D,j potrà al 
più eseguirsi tante volte di seguito quanto è il grado di p nella funzione su cui 
essa si eseguisce, altrimenti il risultato sarebbe identicamente nullo; si avrebbe tut- 
tavia un numero di termini ancor più grande del necessario. Ed invero vogliam dimo- 
strare che ad un termine qualunque dell’ operazione da eseguirsi su f può sostituirsi 
una combinazione lineare di termini nei quali il grado di derivazione rispetto ad ogni 
singola variabile non supera il grado che quella variabile ha in f; cosicchè ps. il 
numero totale delle operazioni D,y, Dxz,.--, Dro eseguite in uno stesso termine 
sia sempre > v ecc. i 
Siano infatti, in un termine qualunque dell’ operazione, ki, ka, .....kg+1 risp. i 
gradi di derivazione rispetto alle variabili x,y,..:,0, e sia k, il primo di questi 
numeri per cui 4, >v). Se 0 è quella delle variabili %,y,...,v cui corrisponde il 
grado di derivazione ky, si permutino le operazioni elementari colle solite formole (A) 
finebè il termine che consideriamo sia espresso come una somma di termini del tipo 
AD Dio Ù 
ad © 
o % 
1 f 
(Ph 
dove A non contiene più le operazioni elementari 
Doxa. Diy «00, GO 
e contiene le altre in un ordine da fissarsi a piacere. Scancellando quei termini in 
cui fosse 
Ki Kg + 00 Cà PM 
poichè essi darebbero identicamente 
% % (3 y Vo Yy ) 
A-Dii Dj: DA -f( 2) 0 
p f 0: f 
e 09 20 GRANO Ia ta 
uno qualunque dei termini residui presenterà in luogo dei primitivi gradi di deri- 
vazione ky, k2,..., k-+1 una nuova serie di gradi &',, K2,..., tali che 
ka=%1, ko = va, =. 
Ciò è chiaro per il grado K), che compete alla variabile 0, ma è vero altresì per i 
gradi #,,...,k)-1 poichè le formole di permutazione (A), applicate al termine con- 
siderato, non fanno che diminuire od a più lasciare inalterato il grado di deriva- 
zione rispetto ad ogni singola variabile, come manifestamente risulta dalla natura 
stessa di quelle formole. Pertanto si avrà 
Li i br = 4 = Id 
ki = ky,ko=kha,.... sta =kia, 
ma era per supposto 
ki=V1 slk <V2 gala <Y%IA 
quindi a fortiori 
i = r == 
ka <V br <a a AVA 
Così procedendo si faranno sparire con un numero finito di trasformazioni tutti quei 
termini in cui non si avesse per tutti i valori di «: 
ke=2iVOn 
= 
