dove 
Basterà dimostrare che, se la formola è vera per un certo valore di &, essa è del 
pari vero quando in luogo di & si ponga K+ 1. Ora si ha appunto 
(0 Biz. 0) AR 
—a,. db e i Di el Me H ferri pra ii 
T yee® v (n — k) (nh)... (n, — k) DERZZION x Y ooo E, 
i (a Dj 
RA ) ni =kima=l 
CHISGPANIUE SE 
S IV. Delle funzioni che possono derivarsi da funzioni 
di un minor numero di serie di variabili. 
44. Sia f (È a È la funzione generale di r serie di variabili di specie c, 
ne 90092) 
ritenuto (cfr. art. 19): rZo+1. Essa ammette (art. 27) N=|[m,...,%; 
N ,..., | derivate ad essa omogenee e fra loro linearmente indipendenti che potremo 
indicare con: 
(1) fi fas. + fa 
e delle quali una può ritenersi essere la stessa /. Essa ammette inoltre delle derivate 
non omogenee a se stessa, le quali cioè non contengono le ©, y,...,v ai gradi 21, M4,...,% 
risp. oppure contengono nuove variabili indipendenti dalle @, y,..., v. Fra queste ci 
importa di considerare tutte quelle che contengono un numero minore di variabili, 
cioè al più e variabili, e che designeremo in generale colla lettera ®. Poichè le 
derivate di una ® sono evidentemente anche derivate di f, esisterà per ogni forma ® 
un numero illimitato di operazioni A tali che A® sia una funzione che contenga le 
sole variabili ,y,...,v e precisamente alli stessi gradi n, #9;.., 2, che le mede- 
sime si trovano avere in /, cioè tali che sia, per certi valori delle costanti «1, @2,..., 
AD= 21 fr1+ do fa +... + &x fa 
Ora noi ci proponiamo di rispondere alle questioni seguenti: 
Qual’è il numero delle funzioni linearmente indipendenti 
o (ni na I demvebili de ff 2) e rappresentabili sotto 
DY 00090 Vi Yo 90) 
la forma Aj D+ Ax Do + A3 93 +..., dove le ® sono derivate di f che 
contengono r— 1 serie di variabili? 
Come si può costruire il sistema delle g? 
Per brevità di locuzione noi chiameremo le ® derivate di / che contengono un 
minor numero di variabili, e le © derivate omogenee ad f che dipendono da un mi- 
nor numero di variabili. Noi indicheremo il numero cercato con N' e dimostreremo che 
N'—=[m,-. Mea Mm_ 1, aa 1,1] 
