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S VIII. Riduzione delle equazioni differenziali al minimo numero. Indipen- 
denza delle condizioni lineari date da ciascuna di esse. 
86. Uno dei problemi che più interessano nella teoria dei covarianti è il seguente: 
essendo datecertefunzioni fondamentali di unao più seriedi varia- 
bili di specie o, determinare il numero dei covarianti linearmente 
indipendenti che contengono certe c seriedi variabili 2, y,..., 
risp. ad un grado dato g1,02,..,05, e che sono parimente di gradi 
dati nei coefficienti delle forme fondamentali. 
Essendo dati i gradi nei coefficienti e nelle variabili, il peso 7 di un covariante © 
deve pure considerarsi come dato (art. 72). Ora noi diciamo che il numero cer- 
cato è anche il numero dei covarianti g', (di peso nullo), linear- 
mente indipendenti,che sono dellistessigradi dati nei coefficienti 
delle forme fondamentali, che sono nelle c+1 serie di variabili 
LC, Yz.) «, v risp. dei gradi op +7, o + T,...., Po +T, T, e'iche final 
mente soddisfano identicamente alle o operazioni differenziali: 
(1) Mood dg Depot =0 
Infatti ad ogni covariante @ di peso 7 corrisponde un covariante di peso nullo 
(2) i o = (CY... UV). 
che è appunto dei gradi indicati nei coefficienti e nelle variabili e che soddisfa 
evidentemente alle (1) poichè ps. 
DE I (cy... uv) .0 _10ADEA(2) UO) BP (I) 000 uv) (xy... ux)=0 
Reciprocamente se g' è un covariante di peso nullo, di grado 7 nelle v e che sod- 
disfi alle condizioni (1) esso sarà esattamente divisibile (art. 64) per (@y...vv)5 che 
è pure un covariante; quindi il quoziente d': (2y..:0)T sarà parimenti un cova- 
riante che soddisferà alle condizioni imposte nel primo problema, cioè un covariante o. 
Dalla (2) risulta poi manifestamente che ad ogni relazione lineare fra i covarianti © 
ne corrisponde una simile fra i 9" e reciprocamente, onde il numero dei covarianti 
linearmente indipendenti sarà il medesimo per i due tipi 0 e d. 
87. In ciò che segue supporremo per maggior semplicità che le forme fonda- 
mentali contengano una sola serie di variabili di specie o ('). Cominciamo dal di- 
mostrare che il numero dei covarianti di peso nullo delle forme fon- 
damentali 
m 
mef@ egg, 
1) m um 
P,— p—gm— pm... 
. ° 0 . O O ° . . . 
(') Se le forme fondamentali contenessero più serie di variabili le dimostrazioni che daremo 
resterebbero sostanzialmente le stesse, e tali pure resterebbero i risultati a meno di una leggera 
modificazione della funzione numerica. 
