sd 
— 427 — 
sia espressa in funzione del tempo, e di altre quantità che si possono ridurre ai 
valori iniziali delle variabili stesse; ora tai valori iniziali, dovendo soddisfare anch'essi 
alle equazioni di condizione, si potranno considerare come funzione di 2N —2/ co- 
sianti arbitrarie. Perciò le funzioni « ed w', che risolvono il problema, dovranno 
essere funzioni del tempo e di 2N—2/ costanti arbitrarie, e soddisfare alle (L) alle (L') 
ed alla (f). In questa poi, mentre i differenziali si riferiscono al tempo, le variazioni 
si potranno riferire alle arbitrarie. 
III. Le più generali equazioni canoniche. 
9. Al sistema di variabili u ed v' legate dall’equazioni (L) ed (L'), si voglia 
sostituire nel modo più generale un sistema di 2n==2N — 21 variabili indipendenti 
tra loro 
ao do (SEI) 
e tali, che 
(du, du, — du, du,) 
sì muti im 
> (dp; dgs — dqs dp) — dQdt, 
Ss 
essendo Q una funzione da determinare delle p, delle q e del tempo. 
Messe per w ed «' le funzioni cercate, l'equazione 
(f) x (du', du, — du, du',) — X (dp dqs — dqs dps) + dQdi= 0 
dee divenire una identità. 
Questa equazione ha la forma fondamentale, onde assimilando le «, le q e è 
alle 2 del $ I, avremo che N+n+1 delle 2N equazioni richieste saranno 
RINO cl “i Li 
(5) Ps == da ); x (O=IB 00%) 
Ù I d® di QL; 
($) UW,= du, Se 2h; du, Di du, 9 
f oe Vi . 
(5) O “aa: di ZA: t 3 ] di 9 
ove ©, di da. ..W, sono funzioni arbitrarie delle «, delle g e di t, ed i fattori ) e v. 
sono determinati in modo da verificare le equazioni date (L), e l’equazioni arbitrarie 
(d) n=0 do 0 009 == 
Aggiungendo al sistema (s) (s) (s)", il sistema (L') avremo in tutto 2N-+1 equazioni, 
da cui si ricaveranno le v le w' ed Q in funzione delle p delle q e di t, e queste 2N +1 
funzioni saranno le funzioni più generali, che soddisfano al problema proposto. 
10. Per ricavare effettivamente v, w ed Q in funzione delle nuove variabili si 
| può seguire il seguente procedimento. 
Per avere le w si risolvano le equazioni (L) e le (s), il cui numero totale è 
l+-n=N, rispetto alle w, le quali così divengono funzioni delle p delle q e delle ): 
queste funzioni poi si sostituiscano nelle (4), e così si otterranno le X in funzione delle p 
e delle g, e quindi le w risulteranno funzioni delle stesse quantità: e queste funzioni 
soddisferanno identicamente alle (L) ed alle (4). 
